Как можно разделить отрезок длиной 18 см на две части таким образом, чтобы, рассматривая их как катеты, получился

  • 40
Как можно разделить отрезок длиной 18 см на две части таким образом, чтобы, рассматривая их как катеты, получился прямоугольный треугольник с наименьшей возможной гипотенузой?
Ярослав
25
Чтобы найти наименьшую возможную гипотенузу для получения прямоугольного треугольника, мы можем использовать известное нам свойство прямоугольных треугольников: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (теорема Пифагора).

Итак, у нас есть отрезок длиной 18 см. Обозначим одну из частей этого отрезка как x (в сантиметрах). Тогда вторая часть будет иметь длину 18x (также в сантиметрах).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы. По условию задачи мы хотим найти минимальную возможную длину гипотенузы. Поэтому мы можем взять производную от функции гипотенузы по переменной x и приравнять ее к нулю, чтобы найти точку минимума.

Воспользуемся формулой для нахождения длины гипотенузы в зависимости от x:

Гипотенуза=x2+(18x)2

Теперь найдем производную функции гипотенузы по переменной x и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку минимума:

ddxГипотенуза=12(x2+(18x)2)12(2x2(18x))

Приравниваем производную к нулю:

12(x2+(18x)2)12(2x2(18x))=0

Упрощаем уравнение:

(x2+(18x)2)12(x(18x))=0

(x2+(18x)2)122x36=0

Умножаем обе части уравнения на (x2+(18x)2)12:

2x(x2+(18x)2)1236(x2+(18x)2)12=0

Теперь мы можем решить это уравнение численно или графически, чтобы найти значение x. Я воспользуюсь численным методом решения этого уравнения.

Используя численный метод, мы можем найти, что оптимальное значение x составляет примерно 9 см. Это означает, что одна часть отрезка будет длиной 9 см, а вторая часть будет длиной 18 - 9 = 9 см.

Теперь, чтобы проверить, что мы получили прямоугольный треугольник с наименьшей возможной гипотенузой, мы можем вычислить значение гипотенузы, используя формулу:

Гипотенуза=92+92=81+81=16212.73см

Таким образом, мы можем разделить отрезок длиной 18 см на две части: 9 см и 9 см, чтобы получить прямоугольный треугольник с наименьшей возможной гипотенузой, примерно 12.73 см.