Как можно разделить отрезок длиной 18 см на две части таким образом, чтобы, рассматривая их как катеты, получился

Ярослав

25

Чтобы найти наименьшую возможную гипотенузу для получения прямоугольного треугольника, мы можем использовать известное нам свойство прямоугольных треугольников: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (теорема Пифагора).

Итак, у нас есть отрезок длиной 18 см. Обозначим одну из частей этого отрезка как \(x\) (в сантиметрах). Тогда вторая часть будет иметь длину \(18 - x\) (также в сантиметрах).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы. По условию задачи мы хотим найти минимальную возможную длину гипотенузы. Поэтому мы можем взять производную от функции гипотенузы по переменной \(x\) и приравнять ее к нулю, чтобы найти точку минимума.

Воспользуемся формулой для нахождения длины гипотенузы в зависимости от \(x\):

\[Гипотенуза = \sqrt{x^2 + (18-x)^2}\]

Теперь найдем производную функции гипотенузы по переменной \(x\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку минимума:

\[\frac{d}{dx} Гипотенуза = \frac{1}{2} (\sqrt{x^2 + (18-x)^2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x - 2(18-x))\]

Приравниваем производную к нулю:

\[\frac{1}{2} (\sqrt{x^2 + (18-x)^2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x - 2(18-x)) = 0\]

Упрощаем уравнение:

\[(\sqrt{x^2 + (18-x)^2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (x - (18-x)) = 0\]

\[(\sqrt{x^2 + (18-x)^2})^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x - 36 = 0\]

Умножаем обе части уравнения на \((\sqrt{x^2 + (18-x)^2})^{\frac{1}{2}}\):

\[2x(\sqrt{x^2 + (18-x)^2})^{\frac{1}{2}} - 36(\sqrt{x^2 + (18-x)^2})^{\frac{1}{2}} = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение численно или графически, чтобы найти значение \(x\). Я воспользуюсь численным методом решения этого уравнения.

Используя численный метод, мы можем найти, что оптимальное значение \(x\) составляет примерно 9 см. Это означает, что одна часть отрезка будет длиной 9 см, а вторая часть будет длиной 18 - 9 = 9 см.

Теперь, чтобы проверить, что мы получили прямоугольный треугольник с наименьшей возможной гипотенузой, мы можем вычислить значение гипотенузы, используя формулу:

\[Гипотенуза = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81+81} = \sqrt{162} \approx 12.73 \, \text{см}\]

Таким образом, мы можем разделить отрезок длиной 18 см на две части: 9 см и 9 см, чтобы получить прямоугольный треугольник с наименьшей возможной гипотенузой, примерно 12.73 см.