А) What are the unknown elements of the triangle with a = 17, β = 55°, and γ = 80°? Б) Find the unknown elements

Григорьевич

3

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

А) Даны стороны треугольника \(a = 17\) и углы \(\beta = 55^\circ\) и \(\gamma = 80^\circ\). Найдем отсутствующие элементы.

1. Найдем угол \(\alpha\), используя сумму углов треугольника:
\(\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 55^\circ - 80^\circ = 45^\circ\).

2. Теперь найдем недостающие стороны \(b\) и \(c\) с помощью закона синусов. Закон синусов гласит:
\(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\).

Используя данную формулу, мы можем выразить стороны \(b\) и \(c\):
\(\frac{b}{\sin 55^\circ} = \frac{17}{\sin 45^\circ} \Rightarrow b = \frac{17\sin 55^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 19.72\),
\(\frac{c}{\sin 80^\circ} = \frac{17}{\sin 45^\circ} \Rightarrow c = \frac{17\sin 80^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 20.93\).

Таким образом, неизвестные элементы треугольника равны:
\(b \approx 19.72\) и \(c \approx 20.93\).

Б) Даны стороны треугольника \(a = 14\), \(b = 20\) и угол \(\gamma = 55^\circ\). Найдем отсутствующие элементы.

1. Найдем угол \(\alpha\), используя закон косинусов:
\(\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{20^2 + c^2 - 14^2}{2\cdot 20\cdot c}\).

2. Найдем недостающую сторону \(c\) с помощью найденного значения \(\alpha\):
\(\cos\alpha = \cos\alpha = \frac{20^2 + c^2 - 14^2}{2\cdot 20\cdot c} \Rightarrow c = \frac{20^2 + 14^2 - 2\cdot 20\cdot 14\cos\alpha}{2\cdot 20} \approx 9.49\).

3. Теперь найдем угол \(\beta\) с помощью закона синусов:
\(\frac{\sin\beta}{a} = \frac{\sin\gamma}{c} \Rightarrow \sin\beta = \frac{a\sin\gamma}{c} = \frac{14\sin 55^\circ}{9.49} \Rightarrow \beta \approx \sin^{-1}\left(\frac{14\sin 55^\circ}{9.49}\right) \approx 34.55^\circ\).

Таким образом, неизвестные элементы треугольника равны:
\(c \approx 9.49\) и \(\beta \approx 34.55^\circ\).

В) Даны стороны треугольника \(a = 5\), \(b = 7.3\) и \(c = 4.8\). Найдем отсутствующие элементы.

1. Найдем угол \(\alpha\) с помощью закона косинусов:
\(\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7.3^2 + 4.8^2 - 5^2}{2\cdot 7.3\cdot 4.8}\).

2. Найдем недостающий угол \(\beta\) с использованием теоремы синусов:
\(\frac{\sin\beta}{a} = \frac{\sin\alpha}{c} \Rightarrow \sin\beta = \frac{a\sin\alpha}{c} = \frac{5\sin\alpha}{4.8} \Rightarrow \beta \approx \sin^{-1}\left(\frac{5\sin\alpha}{4.8}\right)\).

Таким образом, нам необходимо найти значения \(\alpha\), \(\cos\alpha\) и \(\beta\) для нахождения дополнительных элементов треугольника. Однако, для точного определения дополнительных элементов, необходимо явное задание угла \(\alpha\). В данной задаче приведена неполная информация, и поэтому дополнительные элементы треугольника не могут быть определены.