А2. В каком из представленных интервалов находится корень уравнения (〖1/9)〗^(-7)=3^(5х-7)? а) (-5;├ -1]; б) (-1;3

Магнитный_Магнат

42

Задача A2.
Для начала, давайте приведем уравнение к более удобному виду.
Известно, что \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), следовательно, мы можем записать \((\frac{1}{9})^{-7} = 3^{5x-7}\) в следующем виде:

\((9)^{7} = 3^{5x-7}\).

Теперь давайте приведем числа 9 и 3 к общему виду. Заметим, что \(3 = 9^{\frac{1}{2}}\), поэтому:

\((9)^{7} = (9^{\frac{1}{2}})^{2 \cdot (5x-7)}\).

По свойству степени степени мы можем записать это как:

\((9)^{7} = 9^{(2 \cdot (5x-7)) \cdot \frac{1}{2}}\).

Таким образом, получаем:

\(9^{7} = 9^{(5x-7)}\).

Теперь мы можем приравнять показатели степени:

\(7 = 5x - 7\).

Переносим -7 на другую сторону:

\(5x = 14\).

Делим обе части на 5:

\(x = \frac{14}{5}\).

Теперь, чтобы определить, в каком из представленных интервалов находится корень уравнения, подставим значение \(x = \frac{14}{5}\) в неравенство.

Подставляя указанное значение \(x = \frac{14}{5}\) в уравнение, получаем:

\((\frac{1}{9})^{-7} = 3^{5 \cdot \frac{14}{5} - 7}\).

Вычисляем значение слева:

\((9)^{7} = 3^{14 - 7}\).

Упрощаем:

\(9^{7} = 3^{7}\).

Поскольку \(9^{7} = 3^{7}\), корень уравнения находится в интервале \(\text{б) (-1;3)}\).

Ответ: Корень уравнения находится в интервале \(\text{б) (-1;3)}\).