АЛГЕБРА 11 КЛАСС 9. К какому числу нужно прибавить число 7, 5-2 корень из 5i, чтобы получить: 1) Действительное число

Артем

58

Задача 9:
1) Для того чтобы получить действительное число, необходимо сумма иметь нулевую мнимую часть. То есть, нужно прибавить некоторое число к 7, чтобы корень из 5i исчез. Так как комплексное число 5i является чисто мнимым, его действительная часть равна нулю. Значит, необходимо избавиться от корня из 0i. Корень из 0i равен нулю. Таким образом, прибавляемое число должно быть -7.

Ответ: -7.

2) Чтобы получить чисто мнимое число, необходимо сумма иметь нулевую действительную часть. Следовательно, сумма чисел должна быть нулевой. Из предыдущей задачи мы уже знаем, что прибавляемое число должно быть -7. Теперь мы должны учесть корень из 0i. Для этого прибавляем к сумме -2 корень из 5i.

Ответ: -7 - 2√5i.

Задача 10:
2) Для нахождения действительных значений x и y, необходимо приравнять действительные и мнимые части выражений. В данной задаче, действительная часть равна (-1) и мнимая часть равна (-корень из 3i) . Значит, следующие уравнения должны быть верными:

x = 2
-2y = -√3i

Решим второе уравнение:
-2y = -√3 * √i
-2y = -√3 * 1 * i
-2y = -√3i
y = √3/2i

Ответ: x = 2, y = √3/2i.

4) Задача аналогична предыдущей. Необходимо приравнять действительные и мнимые части выражений. В данной задаче, две уравнения равны:
-3x = 1,5
y - 3/4 = 1/4

Решим первое уравнение:
x = 1,5 / (-3)
x = -0,5

Решим второе уравнение:
y - 3/4 = 1/4
y = 1/4 + 3/4
y = 4/4
y = 1

Ответ: x = -0.5, y = 1.

6) Для нахождения действительных значений x и y, складываем действительные и мнимые части выражений. В данной задаче, две уравнения равны:
5x - y = 7
x + y = -1

Решим систему уравнений методом сложения:
(5x - y) + (x + y)i = 7 - i
6x = 7
x = 7/6

Подставим найденное значение x во второе уравнение:
7/6 + y = -1
y = -1 - 7/6
y = -13/6

Ответ: x = 7/6, y = -13/6.

Задача 14:
2) Аналогично предыдущим задачам, приравниваем действительные и мнимые части выражений. Данная задача образует систему уравнений:
2x + 5yi = 2
y + xi = 1

Решим систему уравнений методом сложения:
(2x + 5yi) + (y + xi)i = 2 + i
2x + 5yi + yi + xi^2 = 2 + i
2x + (5y + x)i + xi^2 = 2 + i

Оставляем действительную часть равной действительной части и мнимую часть равной мнимой части:
2x + xi^2 = 2
5y + x = 0

Решим первое уравнение:
2x + xi^2 = 2
2x + x(-1) = 2
2x - x = 2
x = 2

Подставляем найденное значение x во второе уравнение:
5y + x = 0
5y + 2 = 0
5y = -2
y = -2/5

Ответ: x = 2, y = -2/5.

4) Задача аналогична предыдущему примеру. Решим систему уравнений:
1/x + 1/y + i/x = 3/x - i/y + 3i

Для начала, приведем все дроби к общему знаменателю:
(y + x + i)(y + x - i)/xy + i(x + y) = (3y - ix + 3iy)/xy - i(x + y)

Избавимся от знаменателя, перемножив обе части на xy:
(y + x + i)(y + x - i) + i(x + y)xy = (3y - ix + 3iy) - i(x + y)xy

Раскроем скобки:
y^2 + yx + y(-i) + xy + x^2 + x(-i) + iy + ix + i(-i) + xy = 3y - ix + 3iy - i(x + y)xy

Упростим выражение:
y^2 + x^2 + 2xy - 2xi + 2iy - 1 + ixy + 1 = 3y - ix + 3iy - ixy^2

Равняем действительные и мнимые части:
x^2 + 2xy - 2xi + 2iy + ixy = - ix + (3y - ixy^2 - 3iy)

Решим равенство действительных частей:
x^2 + 2xy = -x
x + 2y = -1

Решим равенство мнимых частей:
-2xi + 2iy + ixy = 3y - ixy^2 - 3iy
-2xi + (2y + xy)i = (3 - ixy^2 - 3i)y

Разделим на i и упростим выражение:
-2x + (2y + xy)i = (3 - ixy^2 - 3i)y
-2x + 2y + xyi = 3y - ixy^2 - 3iy

Равняем действительные и мнимые части:
-2x + 2y = 3y
xy = -xy^2 - 3y

Решим первое уравнение:
-2x + 2y = 3y
-2x = y

Подставим найденное значение y во второе уравнение:
x(-2x) = -(x(-2x)^2) - 3(-2x)
-2x^2 = -(4x^3) + 6x
-2x^2 + 4x^3 - 6x = 0
x^3 - 2x^2 + 3x = 0
x(x^2 - 2x + 3) = 0

Возможные решения:
x = 0
x^2 - 2x + 3 = 0

Решим квадратное уравнение:
D = (-2)^2 - 4*1*3 = 4 - 12 = -8

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: x = 0, y = -2x.

Итак, полученные значения для задачи 14:
2) x = 2, y = -2/5.

4) Решение является комплексным и не имеет действительных значений для x и y.

Пожалуйста, прокомментируйте, если у вас возникли вопросы по решению или вам нужны дополнительные объяснения.