Как показать, что 2,999... = 3? Если предположить, что x = 2,(9), то мы можем умножить его на 10, получив 10x = 29,(9
Как показать, что 2,999... = 3? Если предположить, что x = 2,(9), то мы можем умножить его на 10, получив 10x = 29,(9). Таким образом, 9x = 27 и значит x = 3. Аналогичным образом, можно показать, что любую конечную десятичную дробь можно записать как бесконечную дробь с периодом 0 или с периодом 9. Например, 1,75 = 1,75000... = 1,74999... и -0,2 = -0,2000... = -0,199999. Однако, договоримся не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9 и вместо этого использовать конечные десятичные дроби или бесконечные дроби с периодом 0. Например, 5,2999... = 5,30000... = 5,3.
Путешественник_78 48
Для доказательства, что \(2,999\dots = 3\), предположим, что \(x = 2,(9)\), где \(2,(9)\) означает, что после запятой идет бесконечное количество 9.Затем умножим \(x\) на 10, чтобы сдвинуть все цифры на одно место влево: \(10x = 29,(9)\).
Теперь вычтем из уравнения \(x\) чтобы получить два уравнения: \(10x - x = 29,(9) - x\).
Упростим левую часть: \(9x = 29,(9) - x\).
Упростим правую часть, заметив, что все цифры после запятой равны 9: \(9x = 29 - x\).
Раскроем скобки: \(9x = 29 - x\).
Теперь сгруппируем переменные: \(10x = 29\).
Выразим \(x\): \(x = \frac{29}{9} = 3\).
Таким образом, мы убедились, что \(2,999\dots = 3\).
Аналогичным образом, мы можем показать, что любую конечную десятичную дробь можно записать как бесконечную дробь с периодом 0 или с периодом 9. Например, \(1,75 = 1,75000\dots = 1,74999\dots\) и \(-0,2 = -0,2000\dots = -0,19999\dots\).
Однако, в учебных целях мы договоримся не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9, а использовать вместо них конечные десятичные дроби или бесконечные дроби с периодом 0. Например, \(5,2999\dots = 5,30000\dots\).