Анализируйте функцию, у которой есть производная, и нарисуйте её график y=2x^3+3x^2-12x-10

Veselyy_Zver

48

Для начала нам необходимо найти производную данной функции \(y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 10\) для того, чтобы проанализировать её поведение.

1. Найдем производную функции \(y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 10\).
\[y" = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x) - \frac{d}{dx}(10)\]
\[y" = 6x^2 + 6x - 12\]

Теперь, когда у нас есть производная \(y"\), мы можем проанализировать функцию.

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю:
\[6x^2 + 6x - 12 = 0\]
\(x^2 + x - 2 = 0\)
\((x + 2)(x - 1) = 0\)

Таким образом, у нас две критические точки: \(x = -2\) и \(x = 1\).

3. Теперь используем тест знаков для производной \(y"\), чтобы понять поведение функции на интервалах между критическими точками (-бесконечность,-2), (-2,1), (1, +бесконечность).

- Для \(x < -2\):
Выберем \(x = -3\):
\(y" = 6*(-3)^2 + 6*(-3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0\)

- Для \(-2 < x < 1\):
Выберем \(x = 0\):
\(y" = 6*0^2 + 6*0 - 12 = -12 < 0\)

- Для \(x > 1\):
Выберем \(x = 2\):
\(y" = 6*2^2 + 6*2 - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0\)

Из этого следует, что функция возрастает на интервале (-бесконечность,-2), убывает на интервале (-2,1) и снова возрастает на интервале (1, +бесконечность).

4. Наконец, нарисуем график функции \(y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 10\), чтобы визуально представить её поведение на основе анализа производной.

\[f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 10\]

(Здесь будет изображение графика заданной функции)