Аня записала на доску набор натуральных чисел от 1 до 4000, а затем Боря удалил некоторые k из них. Какое максимальное

Yascherka

28

Для решения данной задачи давайте воспользуемся следующими шагами:

1. Подсчитаем сумму всех чисел от 1 до 4000 с помощью формулы суммы арифметической прогрессии.

Сумма чисел от 1 до 4000:
\[S = \frac{{a_1 + a_n}}{2} \cdot n\]
где \(a_1\) - первое число (1), \(a_n\) - последнее число (4000), \(n\) - количество чисел.

Вычислим значение \(S\):
\[S = \frac{{1 + 4000}}{2} \cdot 4000 = 8001000\]

2. Заметим, что сумма 30 чисел должна быть меньше или равна сумме всех чисел на доске, чтобы осталось хотя бы одно число равное этой сумме.
То есть:
\[30 \cdot \text{{сумма чисел}} \leq S\]
\[30 \cdot \text{{сумма чисел}} \leq 8001000\]
\[\text{{сумма чисел}} \leq \frac{{8001000}}{30}\]
\[\text{{сумма чисел}} \leq 266700\]

3. Теперь нужно найти минимальную сумму непрерывных натуральных чисел, которая больше или равна 266700.
Для этого найдем сумму непрерывных натуральных чисел от 1 до некоторого числа \(k\) следующим образом:

\[1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{{k \cdot (k + 1)}}{2}\]

Подставим это выражение в неравенство и решим его относительно \(k\):
\[\frac{{k \cdot (k + 1)}}{2} \geq 266700\]
\[k \cdot (k + 1) \geq 533400\]

Решим квадратное неравенство:
\[k^2 + k - 533400 \geq 0\]

Найдем корни уравнения:

\[D = b^2 - 4ac = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-533400) = 2133601\]
\[k_1 = \frac{{-1 + \sqrt{D}}}{2} \approx 730.515\]
\[k_2 = \frac{{-1 - \sqrt{D}}}{2} \approx -731.515\]

Так как \(k\) должно быть натуральным числом, то берем только положительное значение \(k\):
\[k = 730\]

Значит, минимальная сумма непрерывных натуральных чисел, которая больше или равна 266700, равна:
\[1 + 2 + 3 + \ldots + 730 = \frac{{730 \cdot (730 + 1)}}{2} = 267165\]

4. Ответом на задачу будет значение \(k\), которое максимально, но при этом меньше или равно 730. Мы нашли, что \(k = 730\) удовлетворяет условию. Таким образом, максимальное значение \(k\) равно 730.