B) Докажите, что диагонали в каждом из этих прямоугольников равны

Елизавета

19

Чтобы доказать, что диагонали в прямоугольнике равны, мы можем использовать свойства прямоугольников и свойства треугольников.

Возьмем прямоугольник ABCD, где А, В, С и D - вершины прямоугольника.

Шаг 1: Докажем, что треугольники ABD и CDA являются равнобедренными.

В прямоугольнике ABCD, сторона AB параллельна стороне CD, и сторона AD параллельна стороне BC.

Таким образом, мы имеем следующие пары соответствующих сторон: AB || CD и AD || BC.

Шаг 2: Докажем, что у треугольников ABD и CDA равны по два угла.

Из шага 1 следует, что треугольники ABD и CDA являются равнобедренными. В равнобедренном треугольнике две стороны и два угла равны.

Таким образом, угол ABD равен углу ADB (по свойству равнобедренных треугольников), а угол CDA равен углу CAD (по свойству равнобедренных треугольников).

Шаг 3: Докажем, что треугольники ABD и CDA подобны.

Так как треугольники ABD и CDA имеют два равных угла, то они подобны по признаку ПДП (признаку равенства треугольников).

Шаг 4: Докажем, что отношение длин сторон треугольников ABD и CDA равно 1:1.

Так как треугольники ABD и CDA подобны, то отношение длин сторон равно определенному числу. В данном случае, так как треугольники равнобедренные, это число равно 1:1.

Таким образом, длина стороны AB равна длине стороны CD (по свойству равенства отношений подобных треугольников), и длина стороны AD равна длине стороны BC (по свойству равенства отношений подобных треугольников).

Шаг 5: Докажем, что диагонали AC и BD равны.

Как мы знаем, у прямоугольника AC и BD сторонами являются диагонали.

Мы установили, что AB = CD и AD = BC.

Из свойств прямоугольников следует, что диагонали прямоугольника пересекаются в его центре.

Так как отношение сторон треугольников ABD и CDA равно 1:1, следовательно, их диагонали AC и BD должны быть равными.

Таким образом, диагонали в каждом из этих прямоугольников равны.

Доказательство закончено.