Біреуі қиылысу нүктесінде қақ бөлініп, бір кесінділерге бөлінген хорда бойынша, екінші хорданың ұзындығы қандай?

Якорица

36

Для решения данной задачи, нам необходимо применить основные свойства секущих и хорд в окружности.

Обозначим исходную окружность как O, а точку пересечения секущей и хорды как A. Пусть хорда разделена на две равные части точкой A, и эти две части имеют длины x и y.

Теперь, по свойству секущей и хорды, мы можем сказать, что произведение длин отрезков хорды будет равно произведению длин отрезков секущей. То есть, \( x \cdot y = (x+y) \cdot z \), где z - длина всей хорды.

Раскроем скобки и перенесем все в одну часть уравнения: \( xy - xz - yz = 0 \).

Теперь можно вынести общий множитель: \( x(y-z) - yz = 0 \).

Получается, что \( x(y-z) = yz \).

Теперь рассмотрим два возможных случая:

1) Если хорда не проходит через центр окружности, тогда точка пересечения секущей и хорды делит хорду на две равные части. Это значит, что \( x = y \). Подставим это в уравнение: \( x(x-z) = xz \).

Разделим обе части уравнения на x (необходимо проверить, что x не равно 0): \( x-z = z \). Уберем скобки: \( x = 2z \). Следовательно, длина второй части хорды равна половине длины всей хорды.

2) Если хорда проходит через центр окружности, тогда точка пересечения секущей и хорды совпадает с центром окружности. В этом случае \( z = 2y \). Подставим это в уравнение: \( x(x-2y) = 2y^2 \).

Разделим обе части уравнения на x (необходимо проверить, что x не равно 0): \( x-2y = 2y \). Уберем скобки: \( x = 4y \). Следовательно, длина второй части хорды равна четырем длинам первой части хорды.

Таким образом, в зависимости от того, проходит ли хорда через центр окружности или нет, длина второй части хорды будет равна половине или четырем длинам первой части хорды соответственно.