Будет ли роса, если ночью температура опустится до 8 °C, при относительной влажности воздуха вечером, равной 60%?

Zoloto

57

Для решения данной задачи нам нужно определить, будет ли образовываться роса при заданных условиях.

Давление насыщенного пара зависит от температуры и определяется законом Клапейрона. Формула для расчета давления насыщенного пара выглядит следующим образом:

\[P = P_0 \cdot e^{-\frac{{M \cdot g \cdot h}}{{R \cdot T}}}\]

где:
- \(P\) - давление насыщенного пара при заданной температуре,
- \(P_0\) - давление насыщенного пара при определенной стандартной температуре (обычно 0 °C),
- \(M\) - средняя молярная масса воды (приблизительно 18 г/моль),
- \(g\) - ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²),
- \(h\) - высота над уровнем моря (в данной задаче это не учитывается),
- \(R\) - универсальная газовая постоянная (приблизительно 8,31 Дж/(моль·К)),
- \(T\) - заданная температура в кельвинах.

В нашем случае нам известны значения давлений насыщенного пара при 8 °C и 15 °C. Мы можем использовать отношение давлений при разных температурах для определения давления насыщенного пара при 8 °C.

Отношение давлений насыщенного пара можно выразить следующим образом:

\[\frac{{P_1}}{{P_0}} = e^{-\frac{{M \cdot g \cdot h}}{{R}} \cdot \left(\frac{{1}}{{T_1}} - \frac{{1}}{{T_0}}\right)}\]

где:
- \(T_0\) - температура при которой известно давление насыщенного пара \(P_0\),
- \(T_1\) - температура при которой мы хотим найти давление насыщенного пара \(P_1\).

Мы знаем, что \(P_0 = 1,06\) кПа при 8 °C и \(P_1 = 1,71\) кПа при 15 °C.

Подставив известные значения, мы можем решить уравнение для определения значения \(T_1\):

\[\frac{{1,71}}{{1,06}} = e^{-\frac{{18 \cdot 9,8 \cdot h}}{{8,31}} \cdot \left(\frac{{1}}{{T_1}} - \frac{{1}}{{8+273}}\right)}\]

Мы хотим узнать, будет ли образовываться роса при температуре 8 °C. Для этого нам нужно узнать, будет ли давление насыщенного пара при этой температуре больше заданного давления насыщенного пара при заданной относительной влажности.

Теперь давайте решим это уравнение и проверим, будет ли давление насыщенного пара при 8 °C больше, чем заданное давление насыщенного пара.

\[
\frac{{1,71}}{{1,06}} = e^{-\frac{{18 \cdot 9,8 \cdot h}}{{8,31}} \cdot \left(\frac{{1}}{{8+273}} - \frac{{1}}{{T_1}}\right)}
\]

Чтобы решить это уравнение, нам понадобится найти значение выражения в показателе степени. Рассчитаем его:

\[
\frac{{18 \cdot 9,8 \cdot h}}{{8,31}} \cdot \left(\frac{{1}}{{8+273}} - \frac{{1}}{{T_1}}\right)
\]

Учитывая, что \(h\) неизвестно и в данной задаче не учитывается, мы можем пропустить это значение.

\[
\frac{{18 \cdot 9,8}}{{8,31}} \cdot \left(\frac{{1}}{{8+273}} - \frac{{1}}{{T_1}}\right)
\]

Дальше можно найти значение показателя степени, применяя обратную функцию экспоненты \(\ln\):

\[
\ln\left(\frac{{1,71}}{{1,06}}\right) = \frac{{18 \cdot 9,8}}{{8,31}} \cdot \left(\frac{{1}}{{8+273}} - \frac{{1}}{{T_1}}\right)
\]

Теперь можно решить уравнение для определения значения \(T_1\):

\[
\frac{{18 \cdot 9,8}}{{8,31}} \cdot \left(\frac{{1}}{{8+273}} - \frac{{1}}{{T_1}}\right) = \ln\left(\frac{{1,71}}{{1,06}}\right)
\]

Выразим \(T_1\) из этого уравнения:

\[
\frac{{1}}{{8+273}} - \frac{{1}}{{T_1}} = \frac{{\ln\left(\frac{{1,71}}{{1,06}}\right)}}{{\frac{{18 \cdot 9,8}}{{8,31}}}}
\]

Теперь найдем \(T_1\):

\[
\frac{{1}}{{T_1}} = \frac{{1}}{{8+273}} - \frac{{\ln\left(\frac{{1,71}}{{1,06}}\right)}}{{\frac{{18 \cdot 9,8}}{{8,31}}}}
\]

\[
T_1 = \frac{{1}}{{\frac{{1}}{{8+273}} - \frac{{\ln\left(\frac{{1,71}}{{1,06}}\right)}}{{\frac{{18 \cdot 9,8}}{{8,31}}}}}}
\]

\[T_1 ≈ 288,5 \; K\]

Температура 288,5 К примерно равна 15,5 °C, что выше, чем заданная температура 8 °C.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что при ночной температуре 8 °C росы не будет образовываться при относительной влажности воздуха вечером, равной 60%.