Был ли изменен период колебаний источника звука, если его значение увеличилось в 13 раз, сохраняя при этом скорость

Yupiter

31

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать связь между периодом колебаний и длиной звуковой волны. Формула для вычисления скорости звука:

\[v = f \cdot \lambda\]

где \(v\) - скорость звука, \(f\) - частота звука, а \(\lambda\) - длина звуковой волны.

Мы также знаем, что период колебаний равен обратной величине частоты звука, то есть:

\[T = \frac{1}{f}\]

Если значение периода колебаний увеличивается в 13 раз, это означает, что новый период колебаний равен старому периоду, умноженному на 13. То есть:

\[T_{новый} = 13 \cdot T_{старый}\]

С другой стороны, поскольку скорость звука остается постоянной, мы можем записать:

\[v_{старый} = f_{старый} \cdot \lambda_{старая}\]

и

\[v_{новый} = f_{новый} \cdot \lambda_{новая}\]

Разделив эти два уравнения, получим:

\[\frac{v_{новый}}{v_{старый}} = \frac{f_{новый} \cdot \lambda_{новая}}{f_{старый} \cdot \lambda_{старая}}\]

Поскольку \(v_{новый} = v_{старый}\), то отношение левой и правой части уравнения равно единице:

\[1 = \frac{f_{новый} \cdot \lambda_{новая}}{f_{старый} \cdot \lambda_{старая}}\]

Мы знаем, что \(T_{новый} = 13 \cdot T_{старый}\). Зная, что период колебаний \(T\) обратно пропорционален частоте \(f\), мы можем записать:

\[\frac{T_{новый}}{T_{старый}} = \frac{f_{старый}}{f_{новый}}\]

Таким образом, получаем:

\[\frac{T_{новый}}{T_{старый}} = \frac{f_{старый}}{f_{новый}} = \frac{1}{13}\]

Нам известно, что длина звуковой волны \(\lambda\) связана с частотой \(f\) следующим образом:

\[\lambda = \frac{v}{f}\]

Подставив в это уравнение значение \(v_{старый}\) и \(f_{старый}\), получим:

\[\lambda_{старая} = \frac{v_{старый}}{f_{старый}}\]

Теперь мы можем выразить \(\lambda_{новая}\) через \(\lambda_{старую}\), используя выражение для отношения периодов:

\[\lambda_{новая} = \frac{T_{старый}}{T_{новый}} \cdot \lambda_{старая} = \frac{1}{13} \cdot \lambda_{старая}\]

Итак, если период колебаний увеличился в 13 раз при постоянной скорости звука, то длина звуковой волны уменьшилась в 13 раз.