Чему равен косинус угла C в треугольнике АВС, если координаты точек А, В и С равны соответственно (3; 1), (–2

Skvoz_Pesok

26

Чтобы определить значение косинуса угла C в треугольнике ABC, нам понадобится найти длины его сторон AB, BC и AC. Затем мы сможем использовать формулу косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с значениями его углов.

Шаг 1: Нахождение длин сторон треугольника
Длины сторон AB, BC и AC можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[Длина стороны = \sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Для стороны AB:
\[AB = \sqrt{ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
\[AB = \sqrt{((-2) - 3)^2 + (5 - 1)^2}\]
\[AB = \sqrt{(-5)^2 + 4^2}\]
\[AB = \sqrt{25 + 16}\]
\[AB = \sqrt{41}\]

Для стороны BC:
\[BC = \sqrt{ (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\]
\[BC = \sqrt{((-5) - (-2))^2 + (1 - 5)^2}\]
\[BC = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}\]
\[BC = \sqrt{9 + 16}\]
\[BC = \sqrt{25}\]
\[BC = 5\]

Для стороны AC:
\[AC = \sqrt{ (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\]
\[AC = \sqrt{((-5) - 3)^2 + (1 - 5)^2}\]
\[AC = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2}\]
\[AC = \sqrt{64 + 16}\]
\[AC = \sqrt{80}\]
\[AC = 4\sqrt{5}\]

Шаг 2: Подставляем значения в формулу косинусов
Формула косинусов гласит:

\[cos(C) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\]

Теперь мы можем вычислить значение косинуса угла C:

\[cos(C) = \frac{(\sqrt{41})^2 + (4\sqrt{5})^2 - 5^2}{2 \cdot \sqrt{41} \cdot 4\sqrt{5}}\]
\[cos(C) = \frac{41 + 80 - 25}{2 \cdot \sqrt{41} \cdot 4\sqrt{5}}\]
\[cos(C) = \frac{96}{2 \cdot \sqrt{41} \cdot 4\sqrt{5}}\]
\[cos(C) = \frac{48}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{5}}\]
\[cos(C) = \frac{48}{\sqrt{205}}\]

Таким образом, косинус угла C в треугольнике ABC с данными координатами точек А, В и С равен \(\frac{48}{\sqrt{205}}\).