Чему равен косинус угла между векторами a=4m-p и b=m+2p, если m ортогонально p и |m| = |p|=1?

Magiya_Zvezd

47

Чтобы найти косинус угла между векторами \(a\) и \(b\), нам сначала необходимо вычислить скалярное произведение данных векторов и их модули. Давайте выполним это шаг за шагом.

1. Вычислим модуль вектора \(a\) (|a|):
\[|a| = \sqrt{(4^2 + (-1)^2)} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\]
2. Вычислим модуль вектора \(b\) (|b|):
\[|b| = \sqrt{(1^2 + 2^2)} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]
3. Вычислим скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\) (a · b):
\[a \cdot b = (4 \cdot 1) + (-1 \cdot 2) = 4 - 2 = 2\]
4. Найдем косинус угла между векторами, используя формулу:
\[\cos(\theta) = \frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}}\]
где \(\theta\) - искомый угол.
Подставим значения:
\[\cos(\theta) = \frac{{2}}{{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}}}\]
Упростим выражение:
\[\cos(\theta) = \frac{{2}}{{\sqrt{17 \cdot 5}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{85}}}\]

Таким образом, косинус угла \(\theta\) между векторами \(a\) и \(b\) равен \(\frac{{2}}{{\sqrt{85}}}\).