Чему равен объем части сферы, если радиус сферы равен 6 см, а высота конуса, из которого образуется эта часть
Чему равен объем части сферы, если радиус сферы равен 6 см, а высота конуса, из которого образуется эта часть, составляет треть диаметра сферы?
Yastrebka 70
Для решения этой задачи нам понадобится знание о формулах для объема сферы и объема конуса.Объем сферы можно вычислить, используя формулу:
\[V_{\text{сф}} = \frac{4}{3} \pi r^3\]
где \(V_{\text{сф}}\) - объем сферы, \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, \(r\) - радиус сферы.
С другой стороны, для вычисления объема конуса необходимо знать его высоту и радиус основания. В данной задаче нам дана высота конуса, которая составляет треть диаметра сферы. Зная, что диаметр равен удвоенному значению радиуса, можно выразить высоту конуса через радиус сферы:
\[h = \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot r) = \frac{2}{3} \cdot r\]
где \(h\) - высота конуса, \(r\) - радиус сферы.
Объем конуса можно вычислить с помощью формулы:
\[V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
где \(V_{\text{кон}}\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус сферы, \(h\) - высота конуса.
Мы знаем, что объем части сферы равен объему конуса. Поэтому можем приравнять эти два значения:
\[\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
Теперь подставим значение \(h\):
\[\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{2}{3} r\]
Упростим это уравнение:
\[\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{9} \pi r^3\]
Теперь выразим объем части сферы, который нам требуется найти:
\[V_{\text{часть}} = \frac{2}{9} \pi r^3\]
Подставим известное значение радиуса (\(r = 6\)) в выражение для объема части сферы:
\[V_{\text{часть}} = \frac{2}{9} \pi (6^3)\]
Рассчитаем значение:
\[V_{\text{часть}} = \frac{2}{9} \pi (216)\]
Итак, объем части сферы, если радиус сферы равен 6 см, а высота конуса, из которого образуется эта часть, составляет треть диаметра сферы, равен \(\frac{2}{9} \pi (216)\) кубических сантиметров.