Чему равен объем прямой призмы, у которой основание представляет собой равнобедренную трапецию, одно основание которой

Yastreb

40

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определение оснований трапеции
По условию задачи известно, что одно основание трапеции втрое больше другого. Обозначим меньшее основание как \(x\). Тогда большее основание будет равно \(3x\).

Шаг 2: Расчет площади боковой поверхности призмы
Дано, что площадь боковой поверхности призмы составляет 120 см². Так как все боковые грани призмы представляют собой квадраты со стороной 6 см, то общая площадь всех боковых граней будет равна \(4 \cdot 6^2 = 144\) см². Так как боковые грани призмы являются квадратами, то мы можем записать следующее уравнение:

\[4 \cdot 6^2 = 144 = 120 + \text{площадь основания}\]

Шаг 3: Расчет площади основания
Чтобы найти площадь основания, мы должны вычислить элементы равнобедренной трапеции. Внимательно посмотрим на трапецию. Поскольку боковые грани не являются параллельными, углы при основаниях тоже не равны. Однако, мы можем использовать свойства равнобедренных трапеций для решения этой задачи.

Пусть \(a\) - это основание трапеции, равное \(x\), а \(b\) - это второе основание трапеции, равное \(3x\). Также у нас есть диагональ \(d\), которая является боковой стороной прямоугольного треугольника, образованного вершиной трапеции и двумя углами оснований трапеции.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить диагональ через основания, так как трапеция является прямоугольным треугольником. Так как боковая грань прямой призмы является квадратом со стороной 6 см, то диагональ будет равна \(d = 6\sqrt{2}\) см.

Теперь, используя свойства равнобедренных трапеций, мы можем записать уравнение для площади основания:

\[\text{площадь основания} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где \(h\) - это высота трапеции и равна стороне квадрата, то есть \(h = 6\) см.

Так как одно основание трапеции втрое больше другого, мы можем записать:

\[\text{площадь основания} = \frac{(x + 3x) \cdot 6}{2}\]

Шаг 4: Решение уравнения
Теперь у нас есть уравнение для площади основания и уравнение для площади боковой поверхности призмы. Решим уравнение для площади основания:

\[\frac{(x + 3x) \cdot 6}{2} + 120 = 144\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{4x \cdot 6}{2} + 120 = 144\]
\[12x + 120 = 144\]
\[12x = 144 - 120\]
\[12x = 24\]
\[x = \frac{24}{12}\]
\[x = 2\]

Шаг 5: Нахождение объема прямой призмы
Так как у нас есть размеры основания трапеции (\(x = 2\) см) и известна высота призмы (6 см), мы можем найти объем прямой призмы:

\[\text{объем призмы} = \text{площадь основания} \cdot \text{высота}\]
\[\text{объем призмы} = \frac{(x + 3x) \cdot 6}{2} \cdot 6\]
\[\text{объем призмы} = \frac{4x \cdot 6}{2} \cdot 6\]
\[\text{объем призмы} = 4x \cdot 6\]

Подставим \(x = 2\) см:

\[\text{объем призмы} = 4 \cdot 2 \cdot 6\]
\[\text{объем призмы} = 48 \text{ см}^3\]

Итак, объем прямой призмы равен 48 см³.