Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника, если один из его углов составляет 30°, а длина

Иванович

31

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой, которая связывает радиус окружности, описанной вокруг треугольника, с его сторонами и углами. Формула имеет вид:

\[R = \frac{a}{2\sin A}\]

Где \(R\) обозначает радиус окружности, \(a\) - длина одной из сторон треугольника, а \(A\) - угол, противолежащий этой стороне.

В нашем случае у нас есть один угол, равный 30°, и длина противолежащей стороны, равная 60 см. Так как нам нужен радиус окружности, описанной около этого треугольника, нам нужно найти длину одной из его сторон.

Для этого воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]

Где \(c\) - длина стороны, противолежащей углу \(C\).

Мы можем найти длину стороны \(a\) с помощью этой теоремы:

\[\frac{a}{\sin 30°} = \frac{60}{\sin C}\]

Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти угол \(C\):

\(C = 180° - A - B\)

\(C = 180° - 30° - 90°\)

\(C = 60°\)

Теперь мы можем найти \(\sin C\):

\(\sin C = \sin 60°\)

\(\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Вернемся к уравнению:

\[\frac{a}{\sin 30°} = \frac{60}{\sin C}\]

Подставим значения:

\[\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{60}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростим:

\(2a = \frac{60 \cdot 2}{\sqrt{3}}\)

\(a = \frac{120}{\sqrt{3}}\)

Теперь мы знаем длину стороны треугольника \(a\). Давайте подставим ее в первоначальную формулу, чтобы найти радиус окружности:

\[R = \frac{a}{2\sin A}\]

\[R = \frac{\frac{120}{\sqrt{3}}}{2\sin 30°}\]

Упростим:

\[R = \frac{60}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, равен \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) (или \(\frac{60\sqrt{3}}{3}\)).