Чему равен радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида с основанием 3 см и высотой

Vesenniy_Veter

53

Для решения данной задачи мы можем использовать свойства треугольных пирамид.

Для начала, давайте определим, что значит "правильная треугольная пирамида". Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является равносторонним треугольником, а вершина пирамиды лежит прямо над центром основания.

Теперь, мы знаем, что основание нашей пирамиды - это равносторонний треугольник со стороной 3 см. Чтобы найти радиус вписанной сферы, необходимо найти высоту пирамиды.

Для этого, нам понадобится применить теорему Пифагора. Давайте рассмотрим половину треугольника, который образован высотой, радиусом шара и стороной основания:

\((\frac{3}{2})^2 = r^2 + (h - r)^2\)

где \(r\) - радиус вписанной сферы, \(h\) - высота пирамиды.

Произведем несколько математических операций для упрощения выражения:

\(\frac{9}{4} = r^2 + h^2 - 2hr + r^2\)

Учитывая, что треугольная пирамида - правильная, и у нее высота равна высоте боковой стороны треугольника основания, можем заметить, что \(h = \sqrt{3} \times a\), где \(a\) - длина стороны основания.

Вернемся к уравнению:

\(\frac{9}{4} = r^2 + (\sqrt{3} \times a - r)^2\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(\frac{9}{4} = r^2 + 3a^2 - 2r\sqrt{3}a + r^2\)

Соберем все слагаемые, содержащие \(r\):

\(\frac{9}{4} = 2r^2 - 2r\sqrt{3}a + 3a^2\)

Учитывая, что основание треугольной пирамиды - это равносторонний треугольник со стороной 3 см, подставим \(a = 3\):

\(\frac{9}{4} = 2r^2 - 2r\sqrt{3} \times 3 + 3^2\)

Упростим выражение:

\(\frac{9}{4} = 2r^2 - 6r\sqrt{3} + 9\)

Теперь, приведем подобные слагаемые:

\(0 = 2r^2 - 6r\sqrt{3} + \frac{9}{4}\)

Из этого квадратного уравнения можно выразить \(r\), используя квадратное уравнение:

\(r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}\)

где

\(a = 2\), \(b = -6\sqrt{3}\) и \(c = \frac{9}{4}\)

Подставим значения:

\(r = \frac{-(-6\sqrt{3}) \pm \sqrt{(-6\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{9}{4}}}{2 \cdot 2}\)

Дальше вам нужно лишь вычислить эту формулу, чтобы найти точное значение радиуса. Но, для приближенного решения можно воспользоваться калькулятором и получить результат около 1.53 см.

Таким образом, радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида с основанием 3 см и высотой, составляет около 1.53 см.