Чему равна длина линии пересечения сферы радиусом 15 см плоскостью, проходящей на расстоянии 9 см от центра сферы?

Zvezdnaya_Galaktika

50

Чтобы решить данную задачу, нужно понять, как выглядит пересечение сферы и плоскости.

Дано, что радиус сферы равен 15 см. Это означает, что каждая точка на сфере находится на расстоянии 15 см от ее центра. Плоскость проходит на расстоянии 9 см от центра сферы.

Представим себе, что мы смотрим на сферу сбоку. Плоскость, проходящая через сферу, будет касаться ее в двух точках. Давайте обозначим эти точки A и B.

Используем теорему Пифагора. Изображение будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{{array}}{{ccccc}}
& & C & & \\
& \mid & \mid & \mid & \\
A & - & - & - & B \\
& & O & & \\
\end{{array}}
\]

Где O - центр сферы, A и B - точки пересечения плоскости и сферы, C - точка на сфере, касающаяся плоскости.

Мы знаем, что расстояние ОС равно радиусу сферы, то есть 15 см. Так как плоскость проходит на расстоянии 9 см от центра сферы, расстояние BC равно 9 см.

Чтобы найти длину отрезка AB, нам нужно вычислить длину отрезка AC и вычесть из нее длину отрезка BC.

Длина отрезка AC может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

\[
AC = \sqrt{AO^2 - OC^2}
\]

где AO - радиус сферы, OC - расстояние BC. Подставим значения:

\[
AC = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{{ см}}
\]

Теперь мы можем вычислить длину отрезка AB, вычесть в длине отрезка BC:

\[
AB = AC - BC = 12 \text{{ см}} - 9 \text{{ см}} = 3 \text{{ см}}
\]

Таким образом, длина линии пересечения сферы радиусом 15 см плоскостью, проходящей на расстоянии 9 см от центра сферы, равна 3 см.