Чему равна длина отрезка AE, если известно, что угол ACB составляет 90 градусов, длина отрезка AB равна 25 и длина

Як_1682

43

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойство прямоугольного треугольника.

В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол ACB составляет 90 градусов. Отрезок AB имеет длину 25, а отрезок CD нам неизвестен.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В данном случае гипотенуза - это отрезок AB.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[25^2 = AC^2 + BC^2\]

\[625 = AC^2 + BC^2\]

Теперь нам нужно выразить длину отрезка AE через AC и BC.

Обратимся к треугольнику ADC. Известно, что угол ADC также составляет 90 градусов, поскольку отрезок AC является диаметром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Таким образом, получаем следующее уравнение:

\[AC^2 = AD^2 + CD^2\]

\((AD=BC)\), так как треугольники ABC и ADC являются подобными (по двум сторонам и углу между ними).

Очевидно, что нужно записать систему уравнений

\[
\begin{align*}
625 &= AC^2 + BC^2\\
AC^2 &= BC^2 + CD^2
\end{align*}
\]

так как в обоих уравнениях есть \(BC^2\).

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений для нахождения значений AC и BC.

Мы знаем, что BC известна (это отрезок CD), поэтому мы можем решить первое уравнение относительно AC:

\[AC^2 = 625 - BC^2\]

\[AC^2 = 625 - CD^2\]

\[AC = \sqrt{625 - CD^2}\]

Теперь, заменяя AC на \(\sqrt{625 - CD^2}\) во втором уравнении, мы можем решить его относительно BC:

\[(\sqrt{625 - CD^2})^2 = BC^2 + CD^2\]

\[625 - CD^2 = BC^2 + CD^2\]

\[BC^2 = 625 - 2CD^2\]

\[BC = \sqrt{625 - 2CD^2}\]

Теперь у нас есть значения AC и BC, которые мы можем использовать для решения задачи.

Отрезок AE является диаметром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Для нахождения его длины, нам нужно удвоить значение BC:

\[AE = 2 \cdot BC\]

\[AE = 2 \cdot \sqrt{625 - 2CD^2}\]

Таким образом, длина отрезка AE равна \(2 \cdot \sqrt{625 - 2CD^2}\).