Чему равна длина стороны AC треугольника ABC, если известно, что угол BAC равен 60º, угол BCA равен 75º, и сторона

Рак_1363

59

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему синусов.

Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике со сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C соответственно, выполнено следующее соотношение:

\[\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}\]

Мы можем использовать эту теорему для нахождения значения стороны AC треугольника ABC.

Дано:
Угол BAC равен 60º.
Угол BCA равен 75º.
Сторона AB равна \(x\) (давайте обозначим длину стороны AB как \(x\)).

Мы хотим найти значение стороны AC (давайте обозначим длину стороны AC как \(y\)).

Используя теорему синусов, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{{x}}{{\sin 60º}} = \frac{{y}}{{\sin 75º}}\]

Сначала найдем значения синусов углов 60º и 75º. Затем решим уравнение относительно неизвестной стороны AC (y).

\[\sin 60º = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\]

\[\sin 75º = \sqrt{\frac{{2 + \sqrt{3}}}{{4}}}\]

Теперь у нас есть следующее:

\[\frac{{x}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}} = \frac{{y}}{{\sqrt{\frac{{2 + \sqrt{3}}}{{4}}}}}\]

Для решения этого уравнения перемножим обе части на \(\frac{{2}}{{\sqrt{3}}}\), чтобы избавиться от знаменателя под корнем:

\[\frac{{2}}{{\sqrt{3}}} \cdot \frac{{x}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} \cdot \frac{{y}}{{\sqrt{\frac{{2 + \sqrt{3}}}{{4}}}}}\]

Сократим \(\sqrt{3}\) в числителя и знаменателе:

\[2x = \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} \cdot \frac{{y}}{{\sqrt{\frac{{2 + \sqrt{3}}}{{4}}}}}\]

Для упрощения дальнейших вычислений домножим вторую дробь на \(\frac{{2}}{{2}}\):

\[2x = \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} \cdot \frac{{2}}{{2}} \cdot \frac{{y}}{{\sqrt{\frac{{2 + \sqrt{3}}}{{4}}}}}\]

Упростим:

\[2x = \frac{{4}}{{\sqrt{3}}} \cdot \frac{{y}}{{\sqrt{{2 + \sqrt{3}}}}}\]

Теперь выразим неизвестную сторону AC (y):

\[y = \frac{{2x \cdot \sqrt{{2 + \sqrt{3}}}}}{4 \cdot \sqrt{3}}\]

Для упрощения можно дальше сократить 2 и 4:

\[y = \frac{{x \cdot \sqrt{{2 + \sqrt{3}}}}}{2 \cdot \sqrt{3}}\]

Таким образом, длина стороны AC треугольника ABC равна \(\frac{{x \cdot \sqrt{{2 + \sqrt{3}}}}}{2 \cdot \sqrt{3}}\).