Чему равна длина стороны треугольника ABC, если угол С равен 90 градусов, sin a = √7/4, и АВ

Basya

44

Чтобы найти длину стороны треугольника ABC, нам понадобятся информация о двух углах треугольника и одной стороне. Известно, что угол C равен 90 градусов, что говорит нам о том, что треугольник ABC - прямоугольный.

Далее, дано, что sin a = √7/4. Так как sin a представляет отношение длин противолежащего катета к гипотенузе, мы можем использовать эту информацию для нахождения отношения между длиной стороны треугольника и длиной гипотенузы.

Чтобы перейти к нахождению длины стороны, нам необходимо использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC. Данная теорема гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть сторона AB обозначает один из катетов, а сторона AC - гипотенузу. Мы хотим найти длину стороны AB.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

Так как угол C равен 90 градусов, мы знаем, что BC - это длина противолежащего катета, а СА - это гипотенуза.

Поэтому наше уравнение примет вид:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]
\[AB^2 + BC^2 = CA^2\]

Таким образом, нам нужно найти длину стороны AB, зная, что sin a = √7/4.

Прежде чем продолжить, рассмотрим соотношение между sin a и длиной стороны треугольника. Зная, что sin a = противолежащий катет / гипотенуза, мы можем записать:

\[\sin a = \dfrac{BC}{AC}\]

Теперь мы можем использовать данную информацию и заменить в уравнении значение sin a, а также заменить гипотенузу AC:

\[\left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 + BC^2 = AC^2\]

Упрощая выражение, получим:

\[\dfrac{7}{16} + BC^2 = AC^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение длины стороны AB.

Переносим \(\dfrac{7}{16}\) на другую сторону уравнения:

\[BC^2 = AC^2 - \dfrac{7}{16}\]

Теперь извлекаем квадратный корень с обеих сторон, чтобы найти длину стороны BC:

\[BC = \sqrt{AC^2 - \dfrac{7}{16}}\]

Таким образом, мы нашли выражение для длины стороны BC. Чтобы найти длину стороны AB, мы можем использовать тождество Пифагора:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

Теперь мы можем подставить найденное значение длины BC в это уравнение и решить его для длины AB.