У трикутника вставлений прямокутник, так що дві його кути розташовані на бічних сторонах, а дві - на основі. Діагоналі

Koko

47

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися властивістю поділу ліній на відрізки з подібності трикутників.

Нехай сторона прямокутника, яка лежить на основі трикутника, має довжину \(a\), а сторона прямокутника, яка лежить на бічній стороні трикутника, має довжину \(b\). Нехай поділ цієї сторони прямокутника на відрізки здійснюється точками \(M\) і \(N\), як показано на малюнку нижче:

\[
\begin{array}{c c c c}
& & M & \\
& & \downarrow & \\
A & - & - & B \\
& & \uparrow & \\
& & N & \\
\end{array}
\]

Для того, щоб з"ясувати відношення між відрізками \(AM\) і \(MB\), зв"яжемо їх з діагоналями прямокутника. Нехай діагоналі прямокутника мають довжини \(d_1\) і \(d_2\), а відстань від одного з кутів прямокутника до точки перетину діагоналей - позначимо \(h\), як показано на малюнку нижче:

\[
\begin{array}{c c c c}
& & M & \\
& & \downarrow & \\
A & - & - & B \\
& & \uparrow & \\
& & N & \\
& & \uparrow & \\
& & O & \\
& \nearrow & & \nwarrow \\
& & \downarrow & \\
& & h & \\
\end{array}
\]

Також, оскільки діагоналі прямокутника паралельні бічним сторонам трикутника, можна сказати, що трикутники \(AMO\) і \(BNO\) подібні. Звідси, за властивістю подібності трикутників, маємо:

\[
\frac{{AM}}{{MO}} = \frac{{BN}}{{NO}}
\]

Але діагоналі прямокутника ми можемо розбити на дві відрізки довжин \(h\) і \(h\). Оскільки вони є висотами відносно рівнобедреного трикутника \(AMO\) (і також \(BNO\)), маємо:

\[
\frac{{AM}}{{h}} = \frac{{BN}}{{h}}
\]

Тепер ми можемо скоротити спільний множник \(h\) з обох боків рівняння і отримаємо:

\[
\frac{{AM}}{{1}} = \frac{{BN}}{{1}}
\]

Таким чином, відношення між відрізками \(AM\) і \(MB\) становить 1:1. Отже, сторону прямокутника, що лежить на основі трикутника, поділено вершинами відносно відрізка, що лежить на бічній стороні трикутника, у відношенні 1:1.