Чему равна площадь боковой поверхности усеченного конуса с высотой 5 см, углом в 60° между образующей и плоскостью

Веселый_Смех

13

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы геометрии и свойства усеченного конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

\[S = \pi l (R + r)\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3.14, \(l\) - образующая конуса, \(R\) - радиус большего основания, \(r\) - радиус меньшего основания.

Обращаем внимание, что нам даны не все значения для прямого использования в формуле, поэтому необходимо найти недостающие параметры.

Высота усеченного конуса равна 5 см, то есть \(h = 5\) см.

Угол в 60° между образующей и плоскостью нижнего основания является наклонным углом осевого сечения. Перпендикулярная диагональ осевого сечения, проходящая через верхний конец образующей, будет равна радиусу большего основания:

\[R = l \cdot \cos(60°)\]

Для нахождения \(\cos(60°)\) воспользуемся тригонометрической формулой:

\[\cos(60°) = \frac{1}{2}\]

Теперь, чтобы найти радиус меньшего основания (\(r\)), нам понадобится некоторая информация о геометрическом соотношении усеченного конуса. По свойству усеченного конуса, отношение радиуса меньшего основания к радиусу большего основания равно отношению высоты к длине образующей:

\[\frac{r}{R} = \frac{h}{l}\]

Теперь мы можем использовать этот факт для нахождения \(r\):

\[r = \frac{R \cdot h}{l}\]

Теперь у нас есть все значения, чтобы рассчитать \(S\). Подставим значения в формулу:

\[S = \pi \cdot l \cdot (R + r)\]

Поскольку \(R\) и \(r\) выражены через \(l\), мы можем заменить их, чтобы упростить выражение:

\[S = \pi \cdot l \cdot \left(l \cdot \cos(60°) + \frac{R \cdot h}{l}\right)\]

Теперь можно упростить выражение, привести его к более компактному виду:

\[S = \pi \cdot l \cdot \left(l \cdot \frac{1}{2} + \frac{R \cdot h}{l}\right)\]

\[S = \pi \cdot l^2 \cdot \frac{1}{2} + \pi \cdot R \cdot h\]

Получается, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

\[S = \pi \cdot l^2 \cdot \frac{1}{2} + \pi \cdot R \cdot h\]