Чему равна площадь прямоугольного треугольника, если разница между катетами равна 85 дм, а гипотенуза - 171

Фея

61

Для решения данной задачи нам потребуется применить формулу площади прямоугольного треугольника, которая выглядит следующим образом:

\[S = \frac{{a \cdot b}}{2}\]

Где \(a\) и \(b\) - это длины катетов прямоугольного треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что разница между катетами равна 85 дм, а гипотенуза равна 171 дм. Нам нужно найти значения катетов. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:

\[\begin{align*}
a - b &= 85 \\
a^2 + b^2 &= 171^2
\end{align*}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения катетов.

Решим первое уравнение относительно \(a\) и подставим его во второе уравнение:

\[(85 + b)^2 + b^2 = 171^2\]

Раскроем скобки:

\[7225 + 170b + b^2 + b^2 = 29241\]

Соберем все квадраты и уравняем уравнение нулю:

\[2b^2 + 170b + 7225 - 29241 = 0\]

Далее, решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 2\), \(b = 170\) и \(c = 7225 - 29241\).

Рассчитаем дискриминант:

\[D = 170^2 - 4 \cdot 2 \cdot (7225 - 29241)\]

Подставим значения и вычислим:

\[D = 28900 - 4 \cdot 2 \cdot (-22016)\]

\[D = 28900 - (-176112)\]

\[D = 205012\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два решения для \(b\):

\[b_1 = \frac{{-170 + \sqrt{205012}}}{4} \approx 30.72\]

\[b_2 = \frac{{-170 - \sqrt{205012}}}{4} \approx -200.72\]

Так как длины не могут быть отрицательными, отбросим отрицательное значение \(b_2\).

Теперь найдем значение \(a\) с помощью первого уравнения:

\[a = b + 85 = 30.72 + 85 = 115.72\]

Итак, мы получили, что длины катетов прямоугольного треугольника равны примерно 30.72 дм и 115.72 дм.

Теперь мы можем рассчитать площадь данного треугольника, подставив значения в формулу:

\[S = \frac{{30.72 \cdot 115.72}}{2} \approx 1777.57\]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет примерно 1777.57 квадратных дециметров.