Чему равна площадь треугольника, образованного плоскостью, проведенной через диагональ куба под углом 60° к плоскости

Загадочная_Луна

28

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть геометрические особенности куба и плоскости, проведенной через его диагональ.

1. Давайте начнем с того, что длина бокового ребра куба равна \(a\). Поскольку нам дан угол в 60° между плоскостью, проходящей через диагональ куба, и плоскостью основания куба, мы можем заметить, что треугольник, образованный этими плоскостями, является равносторонним.

2. Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна длине диагонали куба, которую мы можем найти, используя теорему Пифагора в одном из трехмерных углов куба. Диагональ куба \(d\) вычисляется по формуле:
\[d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\]

3. Теперь мы можем найти высоту равностороннего треугольника, используя формулу для равностороннего треугольника: высота равностороннего треугольника \(h = a\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2}\).

4. И, наконец, площадь равностороннего треугольника равна \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^2}{4}\).

Таким образом, площадь треугольника, образованного плоскостью, проведенной через диагональ куба под углом 60° к плоскости основания, и боковым ребром куба длиной \(a\), равна \(\frac{3a^2}{4}\).