Чему равна производная функции f(x) в точке x0 на графике, где изображена функция y=f(x) и её касательная?

Заблудший_Астронавт

38

Для начала, давайте разберемся с определением производной функции. Производная функции в точке \(x_0\) - это скорость изменения значения функции в этой точке. Она также показывает наклон касательной к графику функции в данной точке. Для того чтобы найти производную функции в точке \(x_0\), нам понадобится использовать понятие предела.

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) обозначается как \(f"(x_0)\) или \(\frac{{df(x)}}{{dx}}\Bigr|_{x=x_0}\).

Теперь пошагово рассмотрим процесс нахождения производной функции в точке:

1. Определите функцию \(f(x)\), которую мы будем дифференцировать.

2. Найдите производную функции \(f(x)\). Это может потребовать применения различных правил дифференцирования, таких как правило степенной функции, правило суммы или правило произведения и т.д. В зависимости от функции, придется использовать соответствующее правило.

3. Подставьте значение \(x_0\) в выражение для производной функции \(f(x)\). Это даст нам значение производной функции в данной точке \(x_0\).

Давайте рассмотрим пример для наглядности. Пусть у нас есть функция \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\), и мы хотим найти производную этой функции в точке \(x_0 = 2\).

1. Определяем функцию \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\).

2. Находим производную функции \(f(x)\):

\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}(3x^2 + 2x + 1) = 6x + 2\]

3. Подставляем \(x_0 = 2\) в выражение для производной функции:

\[f"(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\) в точке \(x_0 = 2\) равна 14.

Применение производной функции позволяет нам анализировать изменения функции в определенной точке и строить касательные к графику функции. Она является важным инструментом в математике, физике, экономике и других науках.