Чему равна вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки внутри прямоугольника с основанием 10

Пугающий_Шаман

33

Давайте решим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Анализ задачи
У нас есть прямоугольник со сторонами 10 см и 5 см. Мы выбираем случайную точку внутри этого прямоугольника. Нам необходимо найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны превысит заданное значение.

Шаг 2: Построение геометрической модели
Давайте представим прямоугольник на координатной плоскости. Пусть верхний левый угол будет точкой (0, 0). Тогда нижний правый угол будет точкой (10, 5). Пусть выбранная случайная точка будет обозначена как (x, y).

Шаг 3: Определение условий, когда расстояние от точки до ближайшей стороны превышает заданное значение
Давайте рассмотрим каждую сторону прямоугольника и определим условия, когда расстояние от точки до этой стороны будет больше заданного значения.

- Расстояние от точки (x, y) до верхней стороны (длина 10 см) будет больше, если значение y превышает заданное значение.
- Расстояние от точки (x, y) до нижней стороны (длина 10 см) будет больше, если значение y меньше заданного значения.
- Расстояние от точки (x, y) до левой стороны (длина 5 см) будет больше, если значение x меньше заданного значения.
- Расстояние от точки (x, y) до правой стороны (длина 5 см) будет больше, если значение x превышает заданное значение.

Шаг 4: Расчет вероятности
Вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки внутри прямоугольника до ближайшей стороны будет больше заданного значения, можно посчитать как отношение площади области, где это условие выполняется, к полной площади прямоугольника.

Давайте рассмотрим каждую сторону отдельно:

- Верхняя сторона: Площадь области, где значение y больше заданного значения, равна (10) * (5 - заданное значение). Полная площадь прямоугольника равна 10 * 5. Таким образом, вероятность для верхней стороны равна \(\frac{{10 \cdot (5 - заданное значение)}}{{10 \cdot 5}}\).
- Нижняя сторона: Площадь области, где значение y меньше заданного значения, равна (10) * заданное значение. Полная площадь прямоугольника равна 10 * 5. Таким образом, вероятность для нижней стороны равна \(\frac{{10 \cdot заданное значение}}{{10 \cdot 5}}\).
- Левая сторона: Площадь области, где значение x меньше заданного значения, равна (5) * заданное значение. Полная площадь прямоугольника равна 10 * 5. Таким образом, вероятность для левой стороны равна \(\frac{{5 \cdot заданное значение}}{{10 \cdot 5}}\).
- Правая сторона: Площадь области, где значение x больше заданного значения, равна (5) * (10 - заданное значение). Полная площадь прямоугольника равна 10 * 5. Таким образом, вероятность для правой стороны равна \(\frac{{5 \cdot (10 - заданное значение)}}{{10 \cdot 5}}\).

Чтобы получить итоговую вероятность, необходимо сложить вероятности для всех сторон и учесть, что вероятность всегда должна быть от 0 до 1. То есть, вероятность для всех сторон в сумме должна быть меньше или равна 1.

Итак, итоговая вероятность будет равна:

\[
\frac{{10 \cdot (5 - заданное значение) + 10 \cdot заданное значение + 5 \cdot заданное значение + 5 \cdot (10 - заданное значение)}}{{10 \cdot 5}}
\]

Это и есть ответ на задачу. Помните, что значение заданного значения должно быть в пределах от 0 до 5.