Как можно выразить переменную хn=15n+2/5n-1 с помощью суммы числа и бесконечно малой величины?

Lelya_9754

66

Чтобы выразить переменную \(x_n = \frac{{15n + 2}}{{5n - 1}}\) с помощью суммы числа и бесконечно малой величины, мы можем воспользоваться понятием предела.

Для начала, давайте разложим на множители знаменатель \(5n - 1\):
\[x_n = \frac{{15n + 2}}{{5n - 1}} = \frac{{n(15 + \frac{2}{n})}}{{n(5 - \frac{1}{5n})}}.\]

Теперь обратим внимание на часть \(\frac{1}{n}\) и часть \(\frac{1}{5n}\) в знаменателе. Обе эти части являются бесконечно малыми величинами, так как они стремятся к нулю при \(n\) стремящемся к бесконечности. Поэтому мы можем записать:
\[\frac{1}{n} \approx \text{бесконечно малая величина} \quad \text{и} \quad \frac{1}{5n} \approx \text{бесконечно малая величина}.\]

Теперь, введем новую переменную \(dx\), которую будем интерпретировать как бесконечно малую величину. Тогда можно записать:
\(\frac{1}{n} = dx\) и \(\frac{1}{5n} = \frac{1}{5}dx\).

Теперь мы можем переписать исходное выражение для \(x_n\) следующим образом:
\[x_n = \frac{{n(15 + \frac{2}{n})}}{{n(5 - \frac{1}{5n})}} = \frac{{n(15 + \frac{2}{n})}}{{n(5 - \frac{dx}{5})}}.\]

Заметим, что \(n\) в числителе и знаменателе сократятся, и мы получим:
\[x_n = \frac{{15 + \frac{2}{n}}}{{5 - \frac{dx}{5}}}.\]

Теперь устремим \(n\) к бесконечности, тогда \(\frac{2}{n}\) будет стремиться к нулю:
\[x_n = \frac{{15 + \frac{2}{n}}}{{5 - \frac{dx}{5}}} \approx \frac{{15 + 0}}{{5 - \frac{dx}{5}}}\]

Далее, устремим \(dx\) к нулю, тогда \(\frac{dx}{5}\) будет также стремиться к нулю:
\[x_n \approx \frac{{15}}{{5 - 0}} = \frac{{15}}{{5}} = 3.\]

Таким образом, мы получили, что предел переменной \(x_n\) при \(n\) стремящемся к бесконечности равен 3. Иными словами, можно сказать, что \(x_n\) можно выразить суммой числа и бесконечно малой величины, где число равно 3.