Чему равно произведение 4 квадратного корня из 17, умноженного на 5 квадратных корней из 2, и затем взятое корень

Поющий_Долгоног

7

Данная задача связана с умножением и извлечением корней. Чтобы решить ее, мы будем применять знания о свойствах корней и правилах умножения.

В начале задачи у нас есть произведение двух чисел, каждое из которых представлено в виде квадратного корня. Мы можем записать это следующим образом:

\[\sqrt{17}^4 \cdot \sqrt{2}^5\]

Давайте начнем с раскрытия степеней внутри корней. Возведение квадратного корня в степень равносильно извлечению корня из числа, находящегося под корнем. Таким образом, мы можем записать:

\[\left(\sqrt{17}\right)^4 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^5 = \sqrt{17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\]

Продолжая упрощение, у нас получается:

\[\left(\sqrt{17}\right)^4 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^5 = \sqrt{17^4} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{17^4 \cdot 2^5}\]

Теперь мы можем перемножить степени, находящиеся внутри корней:

\[\left(\sqrt{17}\right)^4 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^5 = \sqrt{17^4 \cdot 2^5} = \sqrt{(17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}\]

Теперь давайте упростим выражение, находящееся под корнем:

\[(17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 17^4 \cdot 2^5 = (17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)\]

Таким образом, мы получаем:

\[\left(\sqrt{17}\right)^4 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^5 = \sqrt{(17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)} = \sqrt{17^4 \cdot 2^5}\]

Теперь осталось возвести это произведение под корень:

\[\sqrt{17^4 \cdot 2^5} = \sqrt{(17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}\]

Исходя из правила извлечения корня из произведения, мы можем записать:

\[\sqrt{(17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)} = \sqrt{17^2 \cdot (17 \cdot 17) \cdot 2^2 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)}\]

Теперь, снова упрощая выражение, получаем:

\[\sqrt{17^2 \cdot (17 \cdot 17) \cdot 2^2 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)} = \sqrt{17^2} \cdot \sqrt{17 \cdot 17} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}\]

Извлекая корень из каждого множителя, мы получаем:

\[\sqrt{17^2} \cdot \sqrt{17 \cdot 17} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = 17 \cdot \sqrt{17} \cdot 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}\]

Теперь осталось перемножить числа без корней:

\[17 \cdot \sqrt{17} \cdot 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = 34 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}\]

Наконец, мы можем упростить последний корень и получить окончательный ответ:

\[\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{2}\]

Таким образом, окончательный ответ равен:

\[34 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = 34 \cdot \sqrt{17} \cdot (2 \cdot \sqrt{2}) = 34 \cdot 2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{2} = 68 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{2}\]

Ответ: \(68 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{2}\)