Чему равно произведение 7 в степени 1/3 на 7 в степени -2/3, все это возводится в куб и затем делится на 7 в степени

Сверкающий_Джинн

69

Для решения данной задачи нам потребуется использовать правила степеней и операций с дробями. Давайте разложим каждый элемент на множители и проведем необходимые вычисления шаг за шагом.

1. Произведение \(7\) в степени \(\frac{1}{3}\) на \(7\) в степени \(-\frac{2}{3}\) можно записать как:

\[7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{-\frac{2}{3}}\]

2. По правилу степеней с одинаковыми основаниями, когда основания возведены в разные степени, мы можем сложить степени и сохранить основание:

\[7^{\frac{1}{3} - \frac{2}{3}}\]

3. Выполним вычитание дробей в показателе степени:

\[\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\]

4. Подставим полученное значение в исходное выражение:

\[7^{-\frac{1}{3}}\]

5. Теперь возведем эту степень в куб:

\[(7^{-\frac{1}{3}})^3\]

6. Правило возведения степени в степень: мы должны умножить показатели степеней:

\[7^{-\frac{1}{3} \cdot 3}\]

7. Проведем необходимые вычисления:

\[7^{-\frac{1}{3} \cdot 3} = 7^{-1}\]

8. По определению степени отрицательного числа:

\[7^{-1} = \frac{1}{7}\]

9. В итоге получаем:

\[\frac{1}{7}\]

Таким образом, произведение \(7\) в степени \(\frac{1}{3}\) на \(7\) в степени \(-\frac{2}{3}\), возведенное в куб и разделенное на \(7\) в степени 1, равно \(\frac{1}{7}\).