Чему равно произведение sin12°sin14°sin16° в математическом идеале?

Snezhinka

62

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для произведения синусов двух углов. Формула звучит следующим образом:

\[\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}\left[\cos(A-B) - \cos(A+B)\right]\]

где \(A\) и \(B\) - углы, для которых мы хотим найти произведение синусов.

В данном случае у нас три угла: 12°, 14° и 16°. Мы можем использовать формулу для произведения синусов двух углов и последовательно получить произведение синусов всех трех углов.

Поэтапно будем находить произведение синусов двух углов:

1. \(\sin(12°)\sin(14°) = \frac{1}{2}\left[\cos(12°-14°) - \cos(12°+14°)\right]\)

Расчитаем значения внутри квадратных скобок:
\(\cos(12°-14°) = \cos(-2°) = \cos(2°)\)
\(\cos(12°+14°) = \cos(26°)\)

Подставляем значения обратно в формулу:
\(\sin(12°)\sin(14°) = \frac{1}{2}\left[\cos(2°)-\cos(26°)\right]\)

2. \(\sin(12°)\sin(16°) = \frac{1}{2}\left[\cos(12°-16°)-\cos(12°+16°)\right]\)

Расчитаем значения внутри квадратных скобок:
\(\cos(12°-16°) = \cos(-4°) = \cos(4°)\)
\(\cos(12°+16°) = \cos(28°)\)

Подставляем значения обратно в формулу:
\(\sin(12°)\sin(16°) = \frac{1}{2}\left[\cos(4°)-\cos(28°)\right]\)

3. \(\sin(14°)\sin(16°) = \frac{1}{2}\left[\cos(14°-16°)-\cos(14°+16°)\right]\)

Расчитаем значения внутри квадратных скобок:
\(\cos(14°-16°) = \cos(-2°) = \cos(2°)\)
\(\cos(14°+16°) = \cos(30°)\)

Подставляем значения обратно в формулу:
\(\sin(14°)\sin(16°) = \frac{1}{2}\left[\cos(2°)-\cos(30°)\right]\)

Теперь, чтобы найти произведение синусов всех трех углов, мы должны перемножить полученные значения:

\[\sin(12°)\sin(14°)\sin(16°) = \left[\frac{1}{2}\left[\cos(2°)-\cos(26°)\right]\right]\left[\frac{1}{2}\left[\cos(4°)-\cos(28°)\right]\right]\left[\frac{1}{2}\left[\cos(2°)-\cos(30°)\right]\right]\]

На данном этапе мы можем провести вычисления, использовав арифметические операции, чтобы найти численное значение данного произведения синусов. Однако, без конкретных цифр для углов 12°, 14° и 16°, мы не можем дать окончательный числовой ответ.

В математическом идеале, мы можем использовать точные значения для углов и провести все необходимые операции, чтобы найти произведение. Однако, без конкретных числовых значений углов, остается лишь дать окончательный ответ с использованием символов и формул:

\[\sin(12°)\sin(14°)\sin(16°) = \left[\frac{1}{2}\left[\cos(2°)-\cos(26°)\right]\right]\left[\frac{1}{2}\left[\cos(4°)-\cos(28°)\right]\right]\left[\frac{1}{2}\left[\cos(2°)-\cos(30°)\right]\right]\]

Основываясь на данной формуле, без явного числового значения для каждого угла, мы не можем вычислить окончательный результат. Однако, данный ответ будет понятен школьнику и он сможет выполнять дальнейшие вычисления, когда получит конкретные значения углов.