Каково количество возможных способов распределить 5 различных премий между 14 сотрудниками? Предложи формулу, которую

Hrustal

55

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и формулу для нахождения числа сочетаний. По определению сочетаний, число способов выбрать k элементов из n элементов равно

\[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В данной задаче нам необходимо распределить 5 различных премий между 14 сотрудниками. Таким образом, мы выбираем 5 сотрудников из 14 для получения премии, а остальные 9 сотрудников не получают никаких премий.

Подставим значения в нашу формулу:

\[{14 \choose 5} = \frac{14!}{5!(14-5)!}\]

\[{14 \choose 5} = \frac{14!}{5!9!}\]

Теперь рассчитаем значение:

\[{14 \choose 5} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{5!9!}\]

Мы можем сократить 9! в числителе и знаменателе:

\[{14 \choose 5} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5!}\]

Вычислим факториал 5!:

\[{14 \choose 5} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Теперь упростим это выражение:

\[{14 \choose 5} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{120}\]

\[{14 \choose 5} = 2002\]

Таким образом, количество возможных способов распределить 5 различных премий между 14 сотрудниками составляет 2002.

Формулу, которую мы использовали, можно записать следующим образом:

\[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]