Чему равно скалярное произведение векторов BCxDC и AOxOB в прямоугольнике ABCD, где диагонали пересекаются в точке

Zvezdopad_V_Kosmose

2

Чтобы найти скалярное произведение векторов BC и DC, нам нужно учесть, что скалярное произведение векторов AB и CD равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Сначала найдем векторы BC и DC. Вектор BC можно получить, вычислив разность координат вектора C и вектора B:

\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}
\]

Аналогично, вектор DC можно получить из разности координат вектора D и вектора C:

\[
\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}
\]

Теперь нам нужно выразить эти векторы через их координаты. Для этого воспользуемся формулами:

\[
\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B)
\]

\[
\overrightarrow{DC} = (x_D - x_C, y_D - y_C)
\]

Также, учитывая что диагонали пересекаются в точке О и длина AB равна 2, мы можем найти координаты точки О:

\[
x_O = \frac{{x_A + x_B}}{2}
\]

\[
y_O = \frac{{y_A + y_B}}{2}
\]

Так как угол CAD составляет 30 градусов, то треугольник ACD является равносторонним. Это означает, что длины отрезков AC и AD равны длине одной стороны треугольника ABC, которая равна 2.

Теперь, вычислив векторы BC и DC, а также найдя точку O и длину отрезка AC, мы можем вычислить скалярное произведение векторов BC и DC:

\[
\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DC} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{DC}| \cdot \cos\theta
\]

где \(|\overrightarrow{BC}|\) и \(|\overrightarrow{DC}|\) - длины векторов BC и DC соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

Выразив все значения и подставив их в формулу, получим окончательный ответ на задачу.