Какова высота ромба, если отношение его диагоналей составляет 7 : 8 и периметр ромба равен 113?

Хвостик

15

Для решения этой задачи нужно использовать некоторые свойства ромба и формулы для его высоты и периметра.

1. Первым шагом найдем длины диагоналей ромба. По условию задачи, отношение диагоналей равно 7:8. Пусть первую диагональ обозначим как 7x, а вторую - как 8x.
2. Так как у ромба диагонали перпендикулярны и делят его на 4 равных треугольника, то длина стороны ромба равна половине произведения диагоналей, т.е. \( \frac{7x \cdot 8x}{2} = 28x^2 \).
3. Если периметр ромба равен 113, то сумма длин его сторон равна 113. Поскольку у ромба все стороны равны между собой, можно записать уравнение: \(4 \cdot 28x^2 = 113\).
4. Решим это уравнение для нахождения значения x. Разделим обе части уравнения на 4: \(28x^2 = 28.25\).
5. Делим обе части на 28: \(x^2 = 1\).
6. Получаем, что x = 1. Теперь можем найти длины диагоналей: первая диагональ равна 7x = 7, а вторая - 8x = 8.
7. Наконец, вычислим высоту ромба. Высота ромба - это расстояние между двумя параллельными сторонами, перпендикулярное третьей стороне. Для нахождения высоты, можем воспользоваться формулой: \(h = \frac{2A}{a}\), где A - площадь ромба, a - длина основания ромба.
8. Зная, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей, можем записать: \(A = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28\).
9. Длина основания ромба равна одной из его сторон, т.е. 28x^2.
10. Подставляем значения в формулу для высоты: \(h = \frac{2 \cdot 28}{28x^2} = \frac{2}{x^2} = \frac{2}{1^2} = 2\).

Ответ: Высота ромба равна 2.