Чему равно выражение 1+cos(п/2+x)+cos(x-п/2), если x=п/4?

Наталья

6

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом. Для начала, давайте подставим значение \(x = \frac{\pi}{4}\) в данное выражение:

\[1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\right)\]

Мы знаем, что \(\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})\) и \(\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2})\) являются тригонометрическими функциями и их значения можно найти:

\(\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Теперь, подставим значения в исходное выражение:

\[1 + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Чтобы сложить эти числа вместе, придётся привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет \(\sqrt{2}\).

\[1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Чтобы сложить числа, мы должны первое и второе число привести к общему знаменателю \(\sqrt{2}\):

\[1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Сокращаем получившиеся две дроби и получаем:

\[1\]

Таким образом, ответ на данную задачу равен 1.