Чему равно выражение: 1) cos8a+cos6a+2sin5asin3a, если значения cosa=-1/√3 2) cos6x+cos8x+2sin3x*sin5x, если значение

Максим

39

Конечно! Давайте решим данную задачу пошагово.

1) Вначале мы заменяем значение \( \cos a \) на его данное значение: \( \cos a = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

а) \( \cos 8a \)

Используя формулу двойного угла, мы можем заменить это выражение:

\[
\cos 8a = 2 \cos^2 4a - 1 = 2 (\cos^2 2(2a)) - 1
\]

Теперь заменим \( \cos 2a \) на \( \cos^2 a - \sin^2 a \):

\[
\cos 8a = 2[(\cos^2 a - \sin^2 a)^2 - 1] - 1
\]

\[
\cos 8a = 2(\cos^4 a - 2 \cos^2 a \sin^2 a + \sin^4 a - 1) - 1
\]

Теперь заменим \( \cos^2 a \) на \( 1 - \sin^2 a \):

\[
\cos 8a = 2[(1 - \sin^2 a)^2 - 2 (1 - \sin^2 a) \sin^2 a + \sin^4 a - 1] - 1
\]

\[
\cos 8a = 2(1 - 2 \sin^2 a + \sin^4 a - 2 \sin^2 a + 2 \sin^4 a - 1) - 1
\]

\[
\cos 8a = 4 \sin^4 a - 4 \sin^2 a + 1 - 1
\]

\[
\cos 8a = 4 \sin^4 a - 4 \sin^2 a
\]

б) \( \cos 6a \)

Используя аналогичные шаги, мы можем заменить это выражение:

\[
\cos 6a = 4 \cos^3 2a - 3 \cos 2a
\]

\[
\cos 6a = 4 (2 \cos^2 2a - 1) \cos 2a - 3 \cos 2a
\]

\[
\cos 6a = 8 \cos^3 2a - 7 \cos 2a
\]

Теперь заменим \( \cos 2a \) на \( \cos^2 a - \sin^2 a \):

\[
\cos 6a = 8 (\cos^2 a - \sin^2 a)^3 - 7 (\cos^2 a - \sin^2 a)
\]

\[
\cos 6a = 8 (\cos^6 a - 3 \cos^4 a \sin^2 a + 3 \cos^2 a \sin^4 a - \sin^6 a) - 7 (\cos^2 a - \sin^2 a)
\]

\[
\cos 6a = 8 (\cos^6 a - 3 \cos^4 a \sin^2 a + 3 \cos^2 a \sin^4 a - \sin^6 a) - 7 \cos^2 a + 7 \sin^2 a
\]

Последнее слагаемое можно заменить с помощью тригонометрической тождества \( \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \):

\[
\cos 6a = 8 (\cos^6 a - 3 \cos^4 a \sin^2 a + 3 \cos^2 a \sin^4 a - \sin^6 a) - 7 \cos^2 a + 7 (1 - \cos^2 a)
\]

\[
\cos 6a = 8 (\cos^6 a - 3 \cos^4 a (1 - \cos^2 a) + 3 \cos^2 a (1 - \cos^2 a)^2 - (1 - \cos^2 a)^3) - 7 \cos^2 a + 7 (1 - \cos^2 a)
\]

\[
\cos 6a = 8 \cos^6 a - 24 \cos^4 a + 24 \cos^2 a (1 - \cos^2 a) - (1 - 3 \cos^2 a + 3 \cos^4 a - \cos^6 a) - 7 \cos^2 a + 7 - 7 \cos^2 a
\]

\[
\cos 6a = -\cos^6 a - 2 \cos^4 a + 16 \cos^2 a - 1
\]

в) \( 2 \sin 5a \sin 3a \)

Мы можем сократить это выражение, используя формулу произведения синусов:

\[
2 \sin 5a \sin 3a = \cos 2a - \cos 8a
\]

Теперь мы можем объединить все слагаемые:

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = 4 \sin^4 a - 4 \sin^2 a + 8 \cos^6 a - 24 \cos^4 a + 24 \cos^2 a - 1 - \cos^6 a - 2 \cos^4 a + 16 \cos^2 a - 1
\]

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = -3 \cos^6 a - 6 \cos^4 a - 4 \sin^2 a + 40 \cos^2 a - 2
\]

Теперь подставим значение \( \sin a = -\frac{1}{\sqrt{3}} \):

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = -3 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^6 - 6 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^4 - 4 \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 40 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2
\]

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = -\frac{3}{27} - 6 \cdot \frac{1}{9} - 4 \cdot \frac{1}{3} + 40 \cdot \frac{1}{3} - 2
\]

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = -\frac{1}{9} - \frac{2}{9} - \frac{4}{3} + \frac{40}{3} - 2
\]

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = \frac{15}{3} - \frac{6}{3} - \frac{12}{3} + \frac{40}{3} - 2
\]

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = \frac{15 - 6 - 12 + 40 - 6}{3}
\]

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = \frac{27}{3}
\]

\[
\cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a = 9
\]

Таким образом, выражение \( \cos 8a + \cos 6a + 2 \sin 5a \sin 3a \) равно 9.