Чему равно выражение 16*sin(a/2) * sin(3a/2), если cos(a) = 3/4?

Музыкальный_Эльф

54

Хорошо! Давайте решим эту задачу по порядку.

У нас дано:
\(\cos(a) = \frac{3}{4}\)

Мы хотим найти значение выражения:
\(16 \cdot \sin(\frac{a}{2}) \cdot \sin(\frac{3a}{2})\)

В начале нам понадобится найти значение синуса и косинуса для данного угла \(a\). Зная, что \(\cos(a) = \frac{3}{4}\), мы можем использовать тригонометрическую тождественную связь \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) для того, чтобы найти значение синуса.

Так как \(\cos (\alpha) = \frac{3}{4}\), то
\(\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}\)

Подставляя значение \(\cos(\alpha) = \frac{3}{4}\), мы можем рассчитать значение синуса:
\(\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2}\)

Вычисляя это, мы получаем:
\(\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16}{16} - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\)

Теперь мы можем приступить к вычислению выражения:
\(16 \cdot \sin(\frac{a}{2}) \cdot \sin(\frac{3a}{2})\)

Заменим \(\sin\left(\frac{a}{2}\right)\) на \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\), чтобы упростить обозначение.

Тогда получим:
\(16 \cdot \sin\left(\frac{a}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{3a}{2}\right) = 16 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right)\)

Теперь используем тригонометрическое тождество \(\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cdot\cos(\beta) - \cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)\), чтобы преобразовать выражение:

\(\sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) = \sin\left(\frac{2\alpha + \alpha}{2}\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\alpha}{2}\right)\)

Заменим \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\) на \(x\), чтобы упростить обозначение.

Тогда получим:
\(\sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) = \sin(\alpha + x)\)

Используя тождество \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot\cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)\), мы можем записать это выражение:

\(\sin(\alpha + x) = \sin(\alpha)\cdot\cos(x) + \cos(\alpha)\cdot\sin(x)\)

Заменяем значения, которые мы уже нашли:
\(\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{4}\) и \(\cos(\alpha) = \frac{3}{4}\)

И теперь можем продолжить расчет:
\(\sin(\alpha + x) = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \cos(x) + \frac{3}{4} \cdot \sin(x)\)

Теперь мы можем заменить значение выражения:
\(16 \cdot \sin(\frac{a}{2}) \cdot \sin(\frac{3a}{2}) = 16 \cdot x \cdot \sin(\alpha + x)\)

Таким образом, для решения задачи нам необходимо вычислить значение обозначенного выше выражения.