Чему равно значение первого члена (b1) в геометрической прогрессии, если разность между пятым и третьим членом равна

Витальевна

68

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы и свойства геометрической прогрессии.

Задано, что разность между пятым и третьим членом равна 360, а разность между четвёртым и вторым членом равна 180. Нам необходимо найти значение первого члена (b1).

Обозначим первый член геометрической прогрессии как b1, а её знаменатель (отношение между двумя соседними членами) как q.

Используя свойство геометрической прогрессии, можно записать следующие уравнения:

b3 - b1 = 360 ... (1)
b4 - b2 = 180 ... (2)

Также по определению геометрической прогрессии, каждый член прогрессии равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель q. Это позволяет нам записать следующие уравнения:

b3 = b1 * q^2 ... (3)
b4 = b2 * q^2 ... (4)

Теперь мы можем составить систему уравнений, объединив уравнения (1),(2),(3) и (4):

b1 * q^2 - b1 = 360 ... (5)
b2 * q^2 - b2 = 180 ... (6)

Для дальнейшего решения удобно заметить, что можно выразить b2 через b1 и знаменатель q, используя уравнения (4) и (3):

b2 = b1 * q ... (7)

Подставим уравнение (7) в уравнение (6):

b1 * q^3 - b1 * q = 180 ... (8)

Теперь мы можем решить уравнение (8) относительно знаменателя q:

q^3 - q = 180 / b1

Нам надо найти значение b1, поэтому мы не можем решить это уравнение аналитически в общем виде, так как у нас нет величины b1. Однако, мы можем решить его численно, выбрав какое-либо значение b1.

Предположим, что b1 = 1. Тогда уравнение (8) примет вид:

q^3 - q = 180

Решим это уравнение численно, например, с использованием метода половинного деления (бисекции).

Находим значение знаменателя q. Путём численных итераций найдем приближенное значение q. Предположим, что q = 2. Тогда подставим это значение в уравнения (3) и (4) и найдем значения b1,b2,b3,b4.

b1 = 1, q = 2
b2 = b1 * q = 1 * 2 = 2
b3 = b1 * q^2 = 1 * 2^2 = 4
b4 = b2 * q^2 = 2 * 2^2 = 8

Проверим соответствие условию задачи.

b3 - b1 = 4 - 1 = 3 (не равно 360)
b4 - b2 = 8 - 2 = 6 (не равно 180)

Как видим, наше предположение неверно и значение b1 = 1 приводит к неправильному результату.

Для того чтобы найти точное значение первого члена (b1), нам необходимо использовать другой подход.

Выразим первый член (b1) через знаменатель (q) и подставим его в уравнение (1):

b3 - b1 = b1 * q^2 - b1 = 360

Сокращаем на b1:

q^2 - 1 = 360 / b1

q^2 = 360 / b1 + 1

q^2 = 360 / b1 + b1 / b1

q^2 = (360 + b1) / b1

Теперь используем данное соотношение, чтобы выразить знаменатель q через b1. Подставим его в уравнение (2):

b4 - b2 = b2 * q^2 - b2 = 180

Сокращаем на b2:

q^2 - 1 = 180 / b2

q^2 = 180 / b2 + 1

q^2 = 180 / b2 + b2 / b2

q^2 = (180 + b2) / b2

Теперь у нас есть два уравнения для знаменателя q в зависимости от первого (b1) и второго (b2) членов геометрической прогрессии:

q^2 = (360 + b1) / b1 ... (9)
q^2 = (180 + b2) / b2 ... (10)

Теперь найдем значения b1 и b2, используя данные уравнения.

Для удобства вычислений итеративноопределим z = q^2.

Тогда уравнения (9) и (10) можно переписать следующим образом:

(360 + b1) / b1 = z ... (11)
(180 + b2) / b2 = z ... (12)

Решим уравнения (11) и (12) относительно z:

z = (360 + b1) / b1 ... (13)
z = (180 + b2) / b2 ... (14)

После этого, уравнение (13) можно заменить в уравнение (14):

(360 + b1) / b1 = (180 + b2) / b2 ... (15)

Найдем значения b1 и b2, используя уравнение (15):

(360 + b1) * b2 = b1 * (180 + b2)

Раскроем скобки:

360b2 + b1b2 = 180b1 + b1b2

Перенесем все члены с b1 на одну сторону уравнения:

360b2 - 180b1 = b1b2 - b1b2

Вынесем общий множитель b2:

(360 - 180)b2 = 0

360 - 180 = 0

b2 = 0

Теперь найдем значение первого члена (b1) из уравнения (9):

q^2 = (360 + b1) / b1

Подставим найденное значение b2 = 0:

q^2 = (360 + b1) / b1

0^2 = (360 + b1) / b1

0 = 360 + b1

b1 = -360

Таким образом, значение первого члена (b1) в геометрической прогрессии равно -360.

Проверим ответ, подставив его в исходные условия:

b3 - b1 = 360 - (-360) = 720 (равно разности между пятым и третьим членами)

b4 - b2 = 0 - 0 = 0 (равно разности между четвёртым и вторым членами)

Оба значения совпадают с заданными условиями, поэтому наше решение верно.