1. Какой будет шестой член арифметической прогрессии {an}, если а1=8, а2=11? 1) 20 2) 23 3) 25 4) другой ответ 2. Какая

Veselyy_Zver

17

1. Для решения данной задачи нам необходимо найти шестой член арифметической прогрессии с известными первыми двумя членами. Чтобы найти шестой член, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Где \(a_n\) - требуемый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии \(a_1\) равен 8, второй член прогрессии \(a_2\) равен 11. Чтобы найти разность прогрессии \(d\), мы можем использовать следующую формулу:

\[d = a_2 - a_1\]

\[d = 11 - 8 = 3\]

Теперь мы можем вычислить шестой член прогрессии:

\[a_6 = 8 + (6-1) \cdot 3\]

\[a_6 = 8 + 5 \cdot 3\]

\[a_6 = 8 + 15\]

\[a_6 = 23\]

Ответ: шестой член арифметической прогрессии равен 23 (вариант 2).

2. Для решения этой задачи мы должны найти разность арифметической прогрессии с известными третьим и девятым членами. Подобно предыдущей задаче, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[c_n = c_1 + (n-1)d\]

Где \(c_n\) - требуемый член прогрессии, \(c_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность арифметической прогрессии.

Третий член прогрессии \(c_3\) равен 2, девятый член прогрессии \(c_9\) равен 17. Чтобы найти разность прогрессии \(d\), мы можем использовать следующую формулу:

\[d = \frac{{c_9 - c_3}}{{9 - 3}}\]

\[d = \frac{{17 - 2}}{{9 - 3}}\]

\[d = \frac{{15}}{{6}}\]

\[d = 2,5\]

Ответ: разность арифметической прогрессии равна 2,5 (вариант 3).

3. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[x_n = x_1 + (n-1)d\]

Где \(x_n\) - требуемый член прогрессии, \(x_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность арифметической прогрессии.

Разность прогрессии \(d\) равна 3, первый член прогрессии \(x_1\) равен 6. Чтобы найти одиннадцатый член прогрессии \(x_{11}\), мы можем подставить значения в формулу:

\[x_{11} = 6 + (11-1) \cdot 3\]

\[x_{11} = 6 + 10 \cdot 3\]

\[x_{11} = 6 + 30\]

\[x_{11} = 36\]

Ответ: одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 36 (вариант 3).

4. Для решения этой задачи предлагается использовать свойство суммы арифметической прогрессии. Сумма \(S_n\) первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть вычислена по следующей формуле:

\[S_n = \frac{{n \cdot (b_1 + b_n)}}{2}\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(b_1\) - первый член прогрессии, \(b_n\) - \(n\)-й член прогрессии.

В данном случае, \(b_2 = 4\) и \(b_9 = 6\). Мы хотим найти сумму членов прогрессии от \(b_9\) до \(b_{16}\). Для этого мы можем вычислить сумму первых 16 членов и вычесть из нее сумму первых 8 членов:

\[S_{16} = \frac{{16 \cdot (b_1 + b_{16})}}{2}\]
\[S_{8} = \frac{{8 \cdot (b_1 + b_{8})}}{2}\]

\[S_{9-16} = S_{16} - S_{8}\]

Мы знаем, что \(S_{8} = S_{9}\), поэтому

\[S_{9-16} = S_{16} - S_{9}\]

\[S_{9-16} = \frac{{16 \cdot (b_1 + b_{16})}}{2} - \frac{{9 \cdot (b_1 + b_{9})}}{2}\]

Подставив известные значения, мы получим:

\[S_{9-16} = \frac{{16 \cdot (b_1 + b_{16})}}{2} - \frac{{9 \cdot (b_1 + 6)}}{2}\]

\[S_{9-16} = \frac{{16 \cdot (4 + b_{16})}}{2} - \frac{{9 \cdot (4 + 6)}}{2}\]

\[S_{9-16} = 8 + 8b_{16} - 45\]

\[S_{9-16} = 8b_{16} - 37\]

Ответ: сумма членов прогрессии от \(b_9\) до \(b_{16}\) равна 8b_{16} - 37 (вариант 4).

5. Для решения этой задачи нам нужно найти четвертый член арифметической прогрессии, если известна сумма первых семи членов, равная 112. Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_7 = \frac{{n \cdot (a_1 + a_7)}}{2}\]

Где \(S_7\) - сумма первых семи членов прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_7\) - седьмой член прогрессии.

Мы знаем, что \(S_7 = 112\) и \(n = 7\). Чтобы найти сумму, мы можем использовать формулу:

\[112 = \frac{{7 \cdot (a_1 + a_7)}}{2}\]

\[224 = 7 \cdot (a_1 + a_7)\]

\[32 = a_1 + a_7\]

Мы также знаем, что разность прогрессии \(d\) равна разности между каждым членом прогрессии. Поэтому мы можем записать:

\[a_7 = a_1 + 3d\]

\[32 = a_1 + (a_1 + 3d)\]

\[32 = 2a_1 + 3d\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения/вычитания. Подставив \(a_7 = a_1 + 3d\) во второе уравнение, мы получим:

\[32 = 2a_1 + 3(a_1 + 3d)\]

\[32 = 2a_1 + 3a_1 + 9d\]

\[32 = 5a_1 + 9d\]

Теперь мы можем использовать известные значения \(a_1\) и \(d\) для нахождения четвертого члена прогрессии:

\[a_4 = a_1 + 3d\]

\[a_4 = \frac{{32 - 9d}}{5} + 3d\]

\[a_4 = \frac{{32 - 9d + 15d}}{5}\]

\[a_4 = \frac{{32 + 6d}}{5}\]

Ответ: четвертый член арифметической прогрессии равен \(\frac{{32 + 6d}}{5}\) (вариант 4).