Чему равно значение выражения sin120°cos30°+cos120°tg45°?

Сверкающий_Гном

54

Хорошо, рассмотрим задачу подробно.

Выражение, которое мы должны вычислить, выглядит следующим образом:

\(\sin 120^\circ \cos 30^\circ + \cos 120^\circ \tan 45^\circ\)

Для начала, давайте разберемся с каждым слагаемым отдельно.

1) Вычисление значения \(\sin 120^\circ \cos 30^\circ\):

Для нахождения значения синуса и косинуса угла, нам нужно знать соответствующий этому углу треугольник.

Угол 120° находится во втором квадранте единичной окружности. Смотря на этот угол, мы видим, что его смежный угол в треугольнике острый. Поэтому катеты будут во 2 четверти.

Мы знаем, что синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, а косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Так как угол 30° является острым углом, его противоположный катет равен \(1/2\), а прилежащий катет равен \(\sqrt{3}/2\). Гипотенуза треугольника равна 1.

Теперь можем вычислить значение.

\(\sin 120^\circ \cos 30^\circ = \frac{{1/2}}{{1}} \cdot \frac{{\sqrt{3}/2}}{{1}} = \frac{{\sqrt{3}/4}}{{1}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4}\)

2) Вычисление значения \(\cos 120^\circ \tan 45^\circ\):

Угол 120° также находится во втором квадранте единичной окружности. Обратите внимание, что его смежный угол в треугольнике тоже острый.

Мы знаем, что косинус является отношением прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс - отношением противоположного катета к прилежащему.

В треугольнике прилежащий катет равен \(1/2\), а противоположный катет равен \(\sqrt{3}/2\). Гипотенуза равна 1.

Теперь можем вычислить значение.

\(\cos 120^\circ \tan 45^\circ = \frac{{\sqrt{3}/2}}{{1}} \cdot \frac{{1}}{{1/1}} = \frac{{\sqrt{3}/2}}{{1}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Итак, мы получили:

\(\sin 120^\circ \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{4}\)

\(\cos 120^\circ \tan 45^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Теперь, чтобы вычислить значение всего выражения, сложим эти два значения:

\(\frac{{\sqrt{3}}}{4} + \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Чтобы сложить дроби, нужно сделать их знаменатели одинаковыми. Знаменатель у первой дроби равен 4, а у второй 2. Мы можем привести знаменатель первой дроби к виду 4, умножив числитель и знаменатель на 2:

\(\frac{{\sqrt{3} \cdot 2}}{{4}} + \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Теперь можем сложить числители:

\(\frac{{\sqrt{6}} + \sqrt{3}}{4} + \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Если сделать общий знаменатель и сложить дроби, получим:

\(\frac{{\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}}{4}\)

Таким образом, значение выражения \(\sin 120^\circ \cos 30^\circ + \cos 120^\circ \tan 45^\circ\) равно \(\frac{{\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}}{4}\).