Чему равно значение выражения (x2+10x+25)/(x2-9) : (4x+20)/(2x+6)?

Putnik_Sudby

64

Для начала, давайте разложим числитель и знаменатель дроби на множители, чтобы упростить выражение. Начнем с числителя.

Мы видим, что числитель выражения \(x^2 + 10x + 25\) является квадратным триномом. Мы можем получить его разложение на множители, применив квадратный трехчлен.

Разложение квадратного трехчлена имеет следующий вид: \((x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\), где \(a\) - это половина коэффициента перед \(x\) в исходном выражении.

Таким образом, для выражения \(x^2 + 10x + 25\) мы должны найти число \(a\), чтобы получить его разложение на множители. В данном случае, \(a\) будет равно половине коэффициента перед \(x\), то есть \(5\). Подставив \(a = 5\) в формулу, мы получим:

\(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\)

Теперь перейдем к знаменателю выражения, \(x^2 - 9\). Здесь мы имеем разность квадратов. Разность квадратов имеет следующий вид: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Таким образом, мы можем раскладывать \(x^2 - 9\) следующим образом:

\(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\)

Давайте теперь разложим дробь на множители:

\(\frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 9} : \frac{4x + 20}{2x + 6} = \frac{(x + 5)^2}{(x + 3)(x - 3)} : \frac{4(x + 5)}{2(x + 3)}\)

Теперь, чтобы разделить две дроби, мы заменяем деление на умножение и меняем знак второй дроби на обратный. Тогда получим:

\(\frac{(x + 5)^2}{(x + 3)(x - 3)} \cdot \frac{2(x + 3)}{4(x + 5)}\)

Здесь у нас есть несколько общих множителей, которые можно сократить. 2 и 4 делятся на 2, а \(x + 3\) и \(x + 5\) также можно сократить. После сокращения получаем:

\(\frac{(x + 5)}{(x - 3)} \cdot \frac{1}{2}\)

В итоге, \(x^2 + 10x + 25\) : \(x^2 - 9\) : \(4x + 20\) : \(2x + 6\) равно \(\frac{(x + 5)}{2(x - 3)}\) или \(\frac{x + 5}{2x - 6}\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!