Чему равны радиусы вписанной и описанной окружности треугольника ABC, если известно, что длины сторон AB=7, BC=11

Olga_9232

3

Нам дан треугольник ABC, у которого известно, что длины сторон AB=7, BC=11 и угол ABC=150°. Мы должны найти радиусы вписанной и описанной окружностей этого треугольника.

Для начала, давайте найдем площадь треугольника ABC. Мы можем использовать формулу площади треугольника, которая гласит: S = (1/2) * a * b * sin(C), где a и b - это длины двух сторон, а C - мера угла между этими сторонами.

Выражение указанного угла как 150° вызывает трудности, так как синус этого угла не является продолжением синуса обычного треугольника (угол ABC > 90°). Однако мы можем заметить, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, то есть оставшийся угол, угол ACB, равен 180° - 150° = 30°.

Теперь мы знаем две стороны треугольника и меру угла между ними. Подставляя значения в формулу для площади, у нас получается: S = (1/2) * AB * BC * sin(ACB) = (1/2) * 7 * 11 * sin(30°).

Мы можем использовать тригонометрический факт, где sin(30°) = 1/2, поэтому наше выражение для площади упрощается: S = (1/2) * 7 * 11 * (1/2) = 77/4.

Теперь, зная площадь треугольника, мы можем найти радиус вписанной окружности (r) по формуле: r = S / p, где p - полупериметр треугольника. Полупериметр вычисляется как p = (AB + BC + CA) / 2.

Подставляя значения сторон треугольника в формулу полупериметра и площади, мы получаем: p = (7 + 11 + CA) / 2 = (18 + CA) / 2 и S = 77/4.

Теперь можно записать формулу для радиуса вписанной окружности: r = (77/4) / ((18 + CA) / 2).

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой r₂ = (a * b * c) / (4 * S), где a, b и c - длины сторон треугольника, а S - площадь треугольника. Подставляя значения в эту формулу, мы получаем: r₂ = (7 * 11 * CA) / (4 * (77/4)) = (7 * 11 * CA) / 77.

Итак, чтобы найти значения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, нам нужно найти значение стороны CA.

Tак как угол ABC равен 150°, мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны CA. Формула закона синусов выглядит следующим образом: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), где a, b и c - стороны треугольника, A, B и C - противолежащие им углы.

Получаем: AB / sin(ACB) = BC / sin(ABC) = CA / sin(BAC). Подставляя значения в формулу, получаем: 7 / sin(30°) = 11 / sin(150°) = CA / sin(BAC).

Используя соотношение sin(30°) = 1/2, мы можем упростить это уравнение: 7 / (1/2) = 11 / (sqrt(3)/2) = CA / sin(BAC).

Упростив выражение и решив уравнение, мы получаем: 14 = (11 * 2) / sqrt(3) = CA / (sqrt(3)/2).

Домножая обе стороны последнего уравнения на sqrt(3)/2, мы получаем: CA = (14 * sqrt(3))/2 = 7 * sqrt(3).

Теперь мы знаем значение стороны CA, и мы можем вычислить радиусы вписанной и описанной окружностей.

r = (77/4) / ((18 + CA) / 2) = (77/4) / ((18 + 7 * sqrt(3)) / 2).

r₂ = (7 * 11 * CA) / 77 = (7 * 11 * 7 * sqrt(3)) / 77.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен (77/4) / ((18 + 7 * sqrt(3)) / 2), а радиус описанной окружности равен (7 * 11 * 7 * sqrt(3)) / 77.