Чему равны sin(a/2), cos(a/2) и tg(a/2), если sin(a) = 14/50?

Murzik

7

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся формулами половинного угла, которые позволят нам выразить значения sin(a/2), cos(a/2) и tg(a/2) через заданный синус a.

Формулы половинного угла имеют следующий вид:

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}}
\]

\[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(a)}{2}}
\]

\[
\tan\left(\frac{a}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{1 + \cos(a)}}
\]

Прежде чем продолжить, мы должны определить знак перед корнем. Для этого нам понадобится информация о знаке синуса a. В нашем случае sin(a) = 14/50 = 7/25. Так как sin(a) положительный, то и sin(a/2) также будет положительный.

Теперь подставим данное значение sin(a) в формулы половинного угла:

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}}
\]

\[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(a)}{2}}
\]

\[
\tan\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{1 + \cos(a)}}
\]

Заметим, что нам не дано значение cos(a), поэтому мы должны его найти. Используя тригонометрическую формулу, которая устанавливает связь между синусом и косинусом, получаем:

\[
\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1
\]

Подставляя значение sin(a) = 7/25 в данную формулу, мы можем найти значение cos(a):

\[
\left(\frac{7}{25}\right)^2 + \cos^2(a) = 1
\]

\[
\frac{49}{625} + \cos^2(a) = 1
\]

\[
\cos^2(a) = 1 - \frac{49}{625}
\]

\[
\cos^2(a) = \frac{576}{625}
\]

\[
\cos(a) = \pm\frac{24}{25}
\]

Так как sin(a) положительный, cos(a) тоже будет положительный, поэтому:

\[
\cos(a) = \frac{24}{25}
\]

Теперь, подставляем полученное значение cos(a) в формулы половинного угла:

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{10}
\]

\[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(a)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{49}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{\sqrt{50}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}
\]

\[
\tan\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{1 + \cos(a)}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{24}{25}}{1 + \frac{24}{25}}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{\frac{49}{25}}} = \sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}
\]

Итак, ответ на задачу:

\[
sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{10}
\]

\[
cos\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{7\sqrt{2}}{10}
\]

\[
tg\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{7}
\]

Надеюсь, это подробное пояснение помогло вам понять решение задачи.