Сколько следует подставить вместо mm , чтобы в выражении (x4+1)(2x2+3x−1)(x2+mx−3), после раскрытия скобок

Родион

41

Выполним раскрытие скобок в выражении (x^4 + 1)(2x^2 + 3x - 1)(x^2 + mx - 3):

\((x^4 + 1)(2x^2 + 3x - 1)(x^2 + mx - 3) = x^4 \cdot (2x^2 + 3x - 1) \cdot (x^2 + mx - 3) + 1 \cdot (2x^2 + 3x - 1) \cdot (x^2 + mx - 3)\)

Далее распишем первое произведение:

\(x^4 \cdot (2x^2 + 3x - 1) \cdot (x^2 + mx - 3)\)

Применяем свойство дистрибутивности и умножаем каждый член первого множителя на каждый член второго и третьего множителей:

\(= x^4 \cdot (2x^2) \cdot (x^2) + x^4 \cdot (2x^2) \cdot (mx) - x^4 \cdot (2x^2) \cdot (3) + x^4 \cdot (3x) \cdot (x^2) + x^4 \cdot (3x) \cdot (mx) - x^4 \cdot (3x) \cdot (3) - x^4 \cdot (1) \cdot (x^2) - x^4 \cdot (1) \cdot (mx) + x^4 \cdot (1) \cdot (3)\)

Упрощаем:

\(= 2x^6 + 2x^4mx - 6x^4 - 3x^3 + 3x^3mx - 9x^3 - x^2 - x^3mx + 3x^2\)

При раскрытии второго произведения получим аналогичное выражение. Объединим полученные члены:

\(= 2x^6 + 2x^4mx - 6x^4 - 3x^3 + 3x^3mx - 9x^3 - x^2 - x^3mx + 3x^2 + 2x^6 + 3x^3 - x^2 - 3x^3mx + 9x^3 + mx^4 - 3mx^2 - 3x^2 - 3mx + 9 - 3m\)

Теперь сгруппируем слагаемые по степеням x:

\(= (2x^6 + 2x^6) + (2x^4mx - x^3mx - 3x^3mx) + (-6x^4) + (3x^3 + 3x^3 + 9x^3) + (-x^2 - x^2 - 3mx^2 - 3mx) - 3m + (mx^4 - 3mx^2) + 9 \)

Упрощаем:

\(= 4x^6 - x^3mx - 6x^4 + 15x^3 - 7x^2 - 6mx^2 - 3mx + mx^4 - 3mx^2 - 3m + 9 \)

Теперь ответим на вопрос задачи. Мы хотим, чтобы после раскрытия скобок и объединения подобных слагаемых отсутствовало слагаемое, содержащее \(x^5\).

Обратим внимание на слагаемые в которых степень x равна 5: у нас есть \(x^3mx\) и \(mx^4\). Чтобы исключить слагаемое с \(x^5\), перемножим \(x^3mx\) и \(mx^4\):

\(x^3mx \cdot mx^4 = mx^4 \cdot x^3mx = m^2x^7\)

Таким образом, если мы подставим вместо "mm" значение \(m^2\), после раскрытия скобок и объединения подобных слагаемых в выражении (x^4 + 1)(2x^2 + 3x - 1)(x^2 + mx - 3), не будет слагаемого, содержащего \(x^5\).

Ответ: Необходимо подставить \(m^2\) вместо "mm".