Через какое время Даня перейдет на следующий уровень в компьютерной игре, если ему нужно набрать не менее 100 000 очков

Пингвин

17

Для решения данной задачи мы можем использовать понятие геометрической прогрессии. Перед тем, как перейти к пошаговому решению, давайте разберемся с формулой этой прогрессии.

Формула общего члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]
где \(a_n\) - n-ый член прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии,
\(q\) - знаменатель прогрессии,
\(n\) - номер члена прогрессии.

Теперь приступим к решению задачи:

1. Для начала определим первый член прогрессии. Нам нужно набрать не менее 100 000 очков, поэтому положим \(a_1 = 1\) - первый член равен единице, так как количество добавляемых очков удваивается после каждых двух минут игры.

2. Определим знаменатель прогрессии \(q\). В данной задаче количество добавляемых очков удваивается после каждых двух минут. Это означает, что после каждых двух минут \(q = 2\).

3. Теперь нам нужно найти номер члена прогрессии \(n\), при котором сумма очков станет не менее 100 000. Это можно сделать с помощью следующего неравенства:
\[a_n \geq 100000\]
\[a_1 \cdot q^{(n-1)} \geq 100000\]
\[1 \cdot 2^{(n-1)} \geq 100000\]

4. Решим неравенство для \(n\):
\[2^{(n-1)} \geq 100000\]

Заметим, что исходная прогрессия - геометрическая с множителем 2. Это означает, что каждые две минуты сумма очков удваивается. Следовательно, нам нужно определить, сколько раз сумму удвоить, чтобы получить не менее 100 000. Воспользуемся логарифмическими свойствами для решения уравнения:

\[\log_2{(2^{(n-1)})} \geq \log_2{(100000)}\]
\[(n-1) \geq \log_2{(100000)}\]
\[n \geq \log_2{(100000)} + 1\]

Теперь найдем численное значение \(n\) с помощью калькулятора или таблицы логарифмов:

\[\log_2{(100000)} \approx 16.609\]
\[n \geq 16.609 + 1\]

5. Окончательный ответ: Через около 17 минут Даня перейдет на следующий уровень в компьютерной игре, если ему нужно набрать не менее 100 000 очков и количество добавляемых очков удваивается после каждых двух минут игры.