Какова высота правильной треугольной пирамиды, если ее сторона основания равна 240 м, а угол между боковым ребром

Cvetok

57

Чтобы найти высоту $h$ правильной треугольной пирамиды, нам понадобятся некоторые знания о геометрии и тригонометрии.

Даны следующие данные:
Сторона основания $a=240$ м.
Угол между боковым ребром и плоскостью основания $\mathrm{\angle }ACB=30°$.

Начнем с построения плоскости, содержащей основание пирамиды. На этой плоскости соединим вершины треугольника $A$, $B$, $C$ с центром основания $O$ пирамиды. Получим прямоугольный треугольник $ABC$, где боковое ребро пирамиды $BC$ является высотой.

Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным, мы можем использовать тригонометрические отношения для нахождения высоты. В данном случае, нам понадобится тангенс угла $\mathrm{\angle }ACB$.

Тангенс угла может быть выражен как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
$$\tan (\mathrm{\angle }ACB)=\frac{BC}{AC}$$

Мы знаем значения двух катетов:
$$\begin{array}{rl}BC& =h\text{(высота пирамиды)}\\ AC& =\frac{a}{2}=\frac{240}{2}=120\end{array}$$

Теперь, подставим эти значения в уравнение:
$$\tan (30°)=\frac{h}{120}$$

Значение $\tan (30°)$ можно найти в таблице тригонометрических функций или с помощью калькулятора. Оно равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим это значение в уравнение:
$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{120}$$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$$1=\frac{h}{120}\cdot \sqrt{3}$$

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды $h$, умножим обе части уравнения на 120:
$$h=120\cdot \sqrt{3}$$

Высота пирамиды равна $h=120\cdot \sqrt{3}$ метров.

Пошаговое объяснение решения данной задачи:
1. Постройте плоскость, содержащую основание пирамиды.
2. Нарисуйте прямоугольный треугольник $ABC$, где $BC$ - боковое ребро пирамиды, а $AC$ - половина длины стороны основания пирамиды.
3. Примените тригонометрическое соотношение для тангенса: $\tan (\mathrm{\angle }ACB)=\frac{BC}{AC}$.
4. Подставьте известные значения: $\tan (30°)=\frac{h}{120}$.
5. Решите уравнение для неизвестной переменной $h$.
6. Получите значение высоты пирамиды $h=120\cdot \sqrt{3}$ метров.

Надеюсь, данное подробное объяснение помогло вам понять, как найти высоту правильной треугольной пирамиды по заданным условиям.