Какова высота правильной треугольной пирамиды, если ее сторона основания равна 240 м, а угол между боковым ребром

Cvetok

57

Чтобы найти высоту \(h\) правильной треугольной пирамиды, нам понадобятся некоторые знания о геометрии и тригонометрии.

Даны следующие данные:
Сторона основания \(a = 240\) м.
Угол между боковым ребром и плоскостью основания \(\angle ACB = 30°\).

Начнем с построения плоскости, содержащей основание пирамиды. На этой плоскости соединим вершины треугольника \(A\), \(B\), \(C\) с центром основания \(O\) пирамиды. Получим прямоугольный треугольник \(ABC\), где боковое ребро пирамиды \(BC\) является высотой.

Так как треугольник \(ABC\) является прямоугольным, мы можем использовать тригонометрические отношения для нахождения высоты. В данном случае, нам понадобится тангенс угла \(\angle ACB\).

Тангенс угла может быть выражен как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
\[
\tan(\angle ACB) = \frac{{BC}}{{AC}}
\]

Мы знаем значения двух катетов:
\[
\begin{align*}
BC &= h \quad \text{(высота пирамиды)} \\
AC &= \frac{{a}}{{2}} = \frac{{240}}{{2}} = 120
\end{align*}
\]

Теперь, подставим эти значения в уравнение:
\[
\tan(30°) = \frac{{h}}{{120}}
\]

Значение \(\tan(30°)\) можно найти в таблице тригонометрических функций или с помощью калькулятора. Оно равно \(\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\).

Подставим это значение в уравнение:
\[
\frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{h}}{{120}}
\]

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):
\[
1 = \frac{{h}}{{120}} \cdot \sqrt{3}
\]

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды \(h\), умножим обе части уравнения на 120:
\[
h = 120 \cdot \sqrt{3}
\]

Высота пирамиды равна \(h = 120 \cdot \sqrt{3}\) метров.

Пошаговое объяснение решения данной задачи:
1. Постройте плоскость, содержащую основание пирамиды.
2. Нарисуйте прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(BC\) - боковое ребро пирамиды, а \(AC\) - половина длины стороны основания пирамиды.
3. Примените тригонометрическое соотношение для тангенса: \(\tan(\angle ACB) = \frac{{BC}}{{AC}}\).
4. Подставьте известные значения: \(\tan(30°) = \frac{{h}}{{120}}\).
5. Решите уравнение для неизвестной переменной \(h\).
6. Получите значение высоты пирамиды \(h = 120 \cdot \sqrt{3}\) метров.

Надеюсь, данное подробное объяснение помогло вам понять, как найти высоту правильной треугольной пирамиды по заданным условиям.