Четыре точки заданы: А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), C(3; 1; 0), D (2; -3; 1). 2. Определите значение синуса угла между

Barsik

66

Чтобы найти значение синуса угла между линией AB и плоскостью, мы можем использовать геометрический подход. Для начала, нам нужно определить векторы, соответствующие линии AB и плоскости.

Вектор, соответствующий линии AB, можно найти, вычислив разность координат точек A и B:

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (1 - 0, -1 - 1, 2 - (-1)) = (1, -2, 3)
\]

Теперь нам нужно найти нормальный вектор плоскости. Для этого мы можем использовать векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Для примера, возьмем векторы \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Давайте найдем их.

\[
\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = (0 - 3, 1 - 1, -1 - 0) = (-3, 0, -1)
\]

\[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = (2 - 3, -3 - 1, 1 - 0) = (-1, -4, 1)
\]

Теперь мы можем вычислить нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение этих двух векторов:

\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-4 - 0) - \mathbf{j}(-1 - 3) + \mathbf{k}(-4 - 0) = (-4, -4, -4)
\]

Теперь мы можем найти синус угла между линией AB и плоскостью, используя следующую формулу:

\[
\sin(\theta) = \frac{{| \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} |}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{n}|}}
\]

где \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}\) - скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{n}\), а \(|\overrightarrow{AB}|\) и \(|\overrightarrow{n}|\) - длины этих векторов.

Вычислим значения:

\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}
\]

\[
|\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = 4\sqrt{3}
\]

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (1 \cdot -4) + (-2 \cdot -4) + (3 \cdot -4) = -4 + 8 - 12 = -8
\]

Теперь можем вычислить значение синуса угла \(\theta\):

\[
\sin(\theta) = \frac{{|-8|}}{{\sqrt{14} \cdot 4\sqrt{3}}} = \frac{8}{{4\sqrt{14}\sqrt{3}}} = \frac{2}{{\sqrt{14}\sqrt{3}}}
\]

Окончательный ответ: Значение синуса угла между линией AB и плоскостью равно \(\frac{2}{{\sqrt{14}\sqrt{3}}}\).