Что будет, если заменить a на 5П/6 в выражении 7/2sin(2П+a)-cos(3П/2+a)?

Бабочка

6

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

У нас есть следующее выражение: \(\frac{7}{2}\sin(2\pi+a)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)\)

Для начала, нам нужно заменить переменную \(a\) на значение \(\frac{5\pi}{6}\):

\(\frac{7}{2}\sin(2\pi+\frac{5\pi}{6})-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{5\pi}{6}\right)\)

Теперь давайте вычислим синус и косинус данных углов. Чтобы найти значение синуса и косинуса для заключительной оценки, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы знаем, что \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) и \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\).

Таким образом,
\(\sin(2\pi+\frac{5\pi}{6})=\sin(2\pi)\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+\cos(2\pi)\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\),
\(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{5\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).

Мы можем упростить значения синуса и косинуса следующим образом:
\(\sin(2\pi)=0\) и \(\cos(2\pi)=1\),
\(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0\) и \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\).

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
\(\frac{7}{2}\cdot0\cdot\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+1\cdot\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)-0\cdot\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)-(-1)\cdot\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).

После упрощения получим:
\(\frac{7}{2}\cdot\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).

Систематизируем и наш ответ:
\(7\cdot\frac{1}{2}\cdot\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)+\frac{1}{1}\cdot\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).

Наконец, объединим слагаемые:
\(\frac{9}{2}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).

Итак, ответ на задачу будет: \(\frac{9}{2}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).