Что будет являться длиной нити, если после столкновения пуля, двигаясь горизонтально со скоростью 80 м/с, проникает

Svetlyachok_V_Nochi_2666

43

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

Сначала рассмотрим закон сохранения импульса. Когда пуля сталкивается с шаром, силы, действующие на них, являются внешними и отсутствуют. Поэтому общий импульс системы до и после соударения остается неизменным.

Масса пули: \( m_1 \)
Масса шара: \( m_2 = 4 \cdot m_1 \)
Скорость пули до соударения: \( v_1 = 80 \, \text{м/с} \)
Скорость пули после соударения: \( v_1" = -60 \, \text{м/с} \) (отрицательное значение, так как пуля движется в обратном направлении)

Скорость шара после соударения: \( v_2" \)
Угол, на который отклоняется шар: \( \theta = 60^\circ \)

Составим уравнение по закону сохранения импульса для горизонтальной компоненты импульса:

\[ m_1 \cdot v_1 = m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2" \]

Подставим известные значения:

\[ m_1 \cdot 80 = m_1 \cdot (-60) + 4 \cdot m_1 \cdot v_2" \]

Упростим уравнение:

\[ 80 = -60 + 4 \cdot v_2" \]

\[ 4 \cdot v_2" = 80 + 60 \]

\[ 4 \cdot v_2" = 140 \]

\[ v_2" = \frac{140}{4} = 35 \, \text{м/с} \]

Таким образом, горизонтальная компонента скорости шара после соударения равна 35 м/с. Теперь мы можем рассмотреть закон сохранения механической энергии.

Изначально шар не имеет начальной кинетической энергии, только потенциальную энергию. После соударения шар приобретает как кинетическую, так и потенциальную энергию.

Поскольку шар отклоняется на угол 60° от вертикали, его конечная высота будет отличаться от исходной. Пусть исходная высота шара равна \( h \), а конечная высота равна \( h" \).

Используя формулу для потенциальной энергии, можем записать:

\[ m_2 \cdot g \cdot h = m_2 \cdot g \cdot h" + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2"^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 4 \cdot m_1 \cdot 9,8 \cdot h = 4 \cdot m_1 \cdot 9,8 \cdot h" + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot m_1 \cdot (35)^2 \]

Упростим уравнение:

\[ 4 \cdot 9,8 \cdot h = 4 \cdot 9,8 \cdot h" + 0,5 \cdot 4 \cdot (35)^2 \]

\[ h = h" + 49 \cdot 35^2 \]

Теперь нам нужно найти длину нити, которая связывает шар и его точку подвеса. Когда шар достигает конечной высоты \( h" \), нить будет растянута до предельной длины.

Для этого мы можем использовать геометрическую связь между длиной нити \( L \), радиуса шара и угла отклонения шара от вертикали:

\[ L = R \cdot (\theta + \sin{\theta}) \]

Подставляем известные значения:

\[ L = R \cdot (60^\circ + \sin{60^\circ}) \]

\[ L = R \cdot (60^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}) \]

Таким образом, длина нити будет равна \( R \cdot (60^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}) \).