Что дифференцируем по х неявно определяемой функции sin(x-2y)+x^3/y=7x?

Igorevich

62

Хорошо, рассмотрим задачу о неявно заданной функции \(f(x, y) = \sin(x - 2y) + \frac{x^3}{y} - 7x\). Наша задача состоит в том, чтобы найти производную данной функции по переменной \(x\) при условии, что \(f(x, y) = 0\).

Для начала выпишем заданное уравнение:

\(\sin(x - 2y) + \frac{x^3}{y} - 7x = 0\)

Чтобы найти производную неявно заданной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем обе части уравнения по переменной \(x\). Помните, что производная сложной функции \(F(g(x))\) равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции:

\(\frac{{d}}{{dx}}\left(\sin(x - 2y) + \frac{x^3}{y} - 7x\right) = \frac{{d}}{{dx}}(0)\)

Первое слагаемое \(\sin(x - 2y)\) обладает производной \(\cos(x - 2y)\). Второе слагаемое \(\frac{x^3}{y}\) можно записать как \(x^3 \cdot y^{-1}\), и здесь нам пригодится правило дифференцирования произведения функций. Третье слагаемое \(-7x\) можно рассматривать как \(-7x^1\), тогда его производная будет равна \(-7\).

Теперь мы можем записать уравнение для производной:

\(\cos(x - 2y) + \left(3x^2 \cdot y^{-1}\right) + (-7) = 0\)

Упростим это уравнение и выразим производную:

\(\cos(x - 2y) + \frac{3x^2}{y} - 7 = 0\)

Таким образом, мы получили неявное уравнение для производной функции \(f(x, y)\):

\(\cos(x - 2y) + \frac{3x^2}{y} = 7\)

Это и есть производная функции \(f(x, y)\) по переменной \(x\) при условии, что \(f(x, y) = 0\).

Надеюсь, это решение понятно школьнику.